[일반] 대각화 불가능한 행렬을 거듭제곱해서 대각화 가능하게 할 수 있음?

[익명(223.62)]

ㅈㄱㄴ..

[ALTa(tladud123)]

몇 가지 반례만 생각해봐도 당연히 불가능

[ExHentai.org(nsa15464)]

선대 배운지 오래 지나서 기억이 잘 안나는데.. 일단 항상 가능한건 아니겠지. 대각화 불가능한 nxn 행렬중에서 rank가 n보다 작은 경우를 생각해보면.. 거듭제곱을 할수록 rank는 같거나, 계속 떨어짐. 대각화가 가능하려면 최소한 rank가 n이어야 할텐데 이러면 대각화는 안되지

[카카오(73.146)]

eig val이 0인 경우도 있어서 단순하게 rank만으로는 말하지 못할거 같아요

[ExHentai.org(nsa15464)]

아 그렇네 대각성분 0일수도 있지

[익명(223.62)]

오 둘다 고마워 근데 일단 "항상 가능한지"가 아니라 "가능한 경우가 존재하는지"를 묻고 싶었던거긴 해

[카카오(73.146)]

일단 nilpotent matrix는 당연히 될거고, Field가 충분히 이쁘다고 가정해봅시다. 그러면 Jordan canonical form이 항상 존재하는데 얘가 diagonalizability를 알려주죠, 이때 크기가 1x1이 아닌 jordan block이 nilpotent하면 거듭제곱이 diagonalizable해지겠네요.

[ExHentai.org(nsa15464)]

언제 될까 생각하고 있었는데 nilpotent라는 단순한 경우가 있었네 jordan form 개대충했는데 선대 복습 언제하냐.. 좆됐네 ㅋㅋㅋㅋ

[익명(77.111)]

크기가 2 이상인 Jordan block의 거듭제곱이 어떻게 표현되는지를 생각해보면.. field가 characteristic zero인 algebraically closed field면 모든 jordan block이 nilpotent한 경우가 유일한 예시가 됨. 왜냐하면 eigenvalue가 0이 아닌 jordan block을 거듭제곱을 해도 (1,2)번째 entry는 계속 살아남기 때문. 하지만 characteristic p인 algebraically closed field의 경우에는, 적당히 큰 N에 대해서 크기가 2 이상인 Jordan block의 N*p번째 거듭제곱을 때리면 대각선 성분 말고는 모두 죽기 때문에 임의의 행렬을 적당히 거듭제곱을 때리면 diagonalizable하게 만들수 있음.

[익명(77.111)]

위 댓글을 더 자세히 풀어쓰자면, eigenvalue t를 가지는 jordan block J에 대해서 J^n을 계산해보자. (i,i+1)성분이 1이고 나머지는 모두 0인 canonical nilpotent matrix N에 대해서 J=tI+N이니까, J^n = (tI+N)^n = ∑nCr*t^{n-r}*N^r이 됨. 한편 N^r은 (i,i+r)성분들이 1이고 나머지는 모두 0인 행렬이므로, J^n의 (i,i+r)번째 성분은 nCr * t^{n-r}이 됨을 알수 있음. 따라서 field의 characteristic이 0이면 J^n의 (1,2)번째 원소는 n*t^{n-1}이 되니 t가 0이 아니면 절대 죽지 않음. 이말인즉슨 모든 크기가 2 이상인 jordan block의 eigenvalue는 0이어야 함.

[ns(qwer2357)]

사실 다른 단순한 경우로 skew symmetric이 있음. skew symmetric이면 ev가 pure imag니까 not real-diagonalizable이지만 제곱하면 symmetric이라 diagonalizable이지 (ev는 음수고)