[일반] 고딩 Basis for R over Q 질문

[익명(118.221)]

어쩌다가 선택공리를 쓰면 모든 실수를 유한한 (임의의 유리수×정해진 어떤 수)들의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기를 봤는데요

진짜 배경지식이 거의 없어서 예시를 찾아봤는데 그냥 말하기 어렵다고만 나오네요

제 생각에는 유한하다면 최소의 기저 개수가 정해져있어야 할거 같은데 그것도 잘 안 나오네요 제가 본 이야기가 잘못된걸까요 아니면 이런 식으로 단순하게 말할 수 없는 신기한 이유가 있는걸까요

[익명(176.188)]

유한한 수의 합으로 생성되느건 가산개인데 되겠냐 어디서 들은건지 몰라도 헛소리거나 잘못 이해한듯

[익명(118.221)]

유한이 아니라 가산개라는 말씀이시죠? 그럼 뭔가 직관적으로 와닫네요

[익명(118.221)]

https://namu.wiki/w/%EC%BD%94%EC%8B%9C%20%ED%95%A8%EC%88%98%20%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D#s-4.1

[익명(118.221)]

꺼무위키라고 욕하실 수도 있는데 여기에서 보고서 더 찾아본건데 처음에 유한이라는 말에 꽂혀서 영어 해석을 계속 이상하게 한거 같네요 저기 쓰인 말은 틀린건가요 아니면 제가 뭣도 모르고 이상하게 해석한건가요

[익명(176.188)]

뭔소리하나했네 ㅋㅋ Hamel base 기수가 유한하란법은 없지 그냥 view R as a (infinite dimensional) vector field over Q. The existence of Hamel base follows from the AC, so the method is nonconstructive.

[익명(118.221)]

그러면 반례의 구성적인 증명은 못 하는 건가요

[익명(176.188)]

당장 안된다는걸 증명은 못하지만 안될거같은데. 그냥 비탈리셋같은 거지같은놈이라고 생각해

[ALTa(tladud123)]

실수를 Q위의 벡터공간으로 본다면 infinite dim'l space임

[ALTa(tladud123)]

무한 기저 중에서 유한개를 뽑아서 표현이 가능한 건 맞는데 그 표현이 'sum 유리수×(기저의 원소)' 인 거고 기저가 (실수의 부분집합인) 무한집합이므로 사실 별로 크게 의미가 있는 건 아님

[ALTa(tladud123)]

3pi + e/2 는 3×pi + (1/2)×e 의 유한합으로 표현되지만... 이게 유리수와 무리수 사이의 특별한 insight를 주진 않죠?

[익명(118.221)]

아 ㄱㅅ합니다