let f : A->C, g : B->C be function, and suppose g is bijection,
1) prove there exists h: A->B such that f=g0h (0 : circle) iff ran f ⊂ ran g
2) prove that h is unique
1번에서 좌에서 우로 하는 증명은 y in ran f => ∃x s.t (x, y) in f
= > ∃x s.t. (x, y) g0h
=> ∃x s.t. (x,z) in h, (z, y) in g for some z
= > ∃x s.t (z, y) in g by p ∧ true iff p
= > y in ran g
로 풀었는데, 우에서 좌로 하는 iff는 어떻게 증명해야 할지 증명 방식이 감이 안 잡힙니다. 그리고 아마 주어진 조건 bijection을 활용하지 않았는데 증명과정에서 g가 bijection임이 어떻게 사용되나요?
우 -> 좌는 h를 직접 잡아서 풀어 ranf 가 rang에 포함되기 때문에 h = g^(-1) • f 가 잘 정의됨
g가 bijection임은 g^(-1) : rang -> B 가 함수임을 보일 때 쓰이겠지
아 g가 bijection이니 인벌스 그래프도 함수가 될 수 있고, h를 말씀한대로 정의하면 그 h와 g를 합성하면 f가 나온다는 논지로 보이면 되는거네요?
ㅇㅇ
그러면 1번에서 가정한 함수 f=g0h인 h를 가지고 2번이 요구하는 h가 unique함을 보일 수 있나요?
그러한 h가 하나가 아니라고 가정해봐 h1, h2가 조건을 만족한다고 가정하고 h1 = h2임을 보여
존재한다는걸 보이라는건 걍 직접 잡아서 저게 성립한다는걸 보이는게 편함 - dc App
그럼 만약에 f:A->C, g:A->B,인 상황에서 prove ∃h:B->C s.t. f=h0g iff ∀x,y in A, g(x)=g(y) => f(x)=f(y)일 때도, 우에서 좌로 풀 때, cod g=/=cod f 가 다르니 g(x)=g(y)만으로는 f(x)=f(y)를 imply할 수 없으니 어떠한 h:B->C s.t. f = h0g 가 존재한다는 논리로 문제에 답을해도 전혀 논리적 하자가 없나요?
질문의 문제는 g가 bijection이기 때문에 g^-1를 논리적으로 조건에서 유도할 수 있었는데, 댓글의 경우에는 아무 조건이 없기 때문에 여기서 어떻게 함수를 하나가 반드시 있어야 하는 것이 유도될 수 있는지 잘 모르겠어서 여쭤봅니다.
이 문제는 본문 문제보다 조금 더 복잡하지만 여전히 함수를 잡아서 풀 수 있음. H : rang -> C를 H(g(x)) = f(x) 라고 정의하자. 이렇게 정의된 H는 조건 g(x) = g(y) -> f(x) = f(y) 에 의하여 함수임을 알 수 있음.
이제 h를 정의할건데, x가 rang에 있을 때는 H(x)로, 그 외에는 대충 C에서 아무거나 a를 가져와서 정의하자. 그러면 h:B -> C가 잘 정의됨.
이제 f = h•g 임을 확인해야 하는데, 우리가 함수 h를 정의한 방식에 의해 자명하다.
https://m.dcinside.com/board/math/28402
추가질문 풀어놓은거다