f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x) = \Sum_{n=0}^\infty 1/(n!*(n+x))
이 f는 x = 0, -1, -2, ...를 제외한 모든 실수에서 연속이고, 미분가능하며
x > 0에서는 근을 갖지 않고 x < 0인 구간에서 무수히 많은 근을 갖는다.
f(x)의 근들을 그 크기에 따라서 0 > x_1 > x_2 > ... > x_n > ... 라 하자.
이 때 \Sum_{n=1}^\infty (n + x_n)의 수렴여부를 판별하시오.
가 문제
\lim_{n \to \infty} (n + x_n) = 0 까지는 보일 수 있다. (f가 연속이고 미분가능한 것도 보일 수 있음)
어디 연습문제 아니고 내가 만든 문제임
내가 만든 문제지만 나도 답은 모른다
수렴할 것 같다가 내 추측인데 증명을 못하겠네
x_i가 대충 -i보다 작고 -i-1보다 크니까 발산
-i < x_i < -i+1 입니다
오차는 대충 생각한거라 있을수 있는데 어쨌건 발산 아님?
본문에도 있지만 일단 n + x_n이 0으로 수렴하고... 그래서 저것만으로는 수렴 판단이 어려움
문제를 잘못 봤네.. 1/(n - x_n)으로 생각하고 있었다
x가 -n에서 -n-1일때 사이에서 저게 0되는 점 찾으면 되는 곳이 n! f(x)가 0되는 곳과 같고 그곳에서 1/n+x 는 대략 - (n! 1/x + .... (모두 음수) ) + O(1)이 됨.
해서 그 역수는 대략 O(1/(n-1)!) 으로 퉁쳐져서 수렴