집이 아니라서 가독성 ㅈ망으로 쓴 점은 양해 부탁드립니다
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이게 어떻게 나온거냐면
a_n = \int_1^e (ln x)^n dx 라는 수열에서 나온건데
이 수열 a_n을 부분적분으로 바꿔보면
a_n = e - na_{n-1}
이라는 점화식이 얻어진다
a_n 일반항은 양변을 (-1)^n*n!으로 나누면 치환을 통해 구할 수 있음
아무튼 n!을 감마함수로 확장시킨 것처럼 a_n을 연속함수로 확장시키려는 작업을 하려는 거였는데
감마함수처럼 a_n = f(n+1)을 만족하는 연속함수 f를 찾는 것
f(x) = \int_0^1 e^t t^(x-1) dt 로 정의하고 ( int (ln t)^(x-1)을 적절히 치환적분하면 나옴)
e^t를 taylor series로 바꾼 뒤 적분하면 위의 급수 형태의 함수가 나옴
균등수렴 보여야 하는거 맞는데 그런 귀찮은 작업은 생략하자
아무튼 이 f(x)도 a_n과 비슷한 다음 성질을 만족시킨다
f(x+1) = e - xf(x)
이거 가지고 이런저런 성질을 찾아보다가 f의 실근들을 찾아보자 해서 저런 문제가 나옴
급수 형태를 풀어보면 분수함수 c/(x-n)들의 무한합으로 이루어져 있기 때문에 (c = constant)
x = 0, -1, -2, ... 의 양이 아닌 정수들에서 정의되지 않고 (무한대로 발산)
구간 (-n,-n+1)에서 단 하나의 실근 x_n을 가짐
(1/x + 1/(x-1)는 (0,1)에서 실근 하나를 갖는다)
그래서 n+x_n > 0 이고
f(n+x_n) 이 양의 무한대로 발산하므로 n+x_n은 0으로 수렴한다
(x>0인 구간에서 f(x)는 1/x과 비슷한 그래프 개형을 가짐)
아래는 f의 대략적인 개형
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