[중고딩문제] 미분가능이랑 도함수 관계 질문좀

[익명(110.70)]

미분가능이라고 도함수 연속 아닌 거는

f=x^2sin(1/x)(x=/=0), 0(x=0) 같은 함수때문에 알고있음

근데

1. 도함수 연속이면 미분가능임?

2. "미분가능"이랑 "도함수극한 존재"랑 다름?

둘이 어떤 관계임? 물론 연속 전제로

[Itsutsugo(lillollool)]

1.고등학교에서 연속의정의를 잘 생각해보셈 2.관계없음

[Itsutsugo(lillollool)]

2.f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능할때 lim(x->a) f'(x)가 존재하면 f는 a에서 우미분가능하고 도함수 우극한값이 우미분계수와같음

[Itsutsugo(lillollool)]

*x->a+로 수정

[익명(59.15)]

1. f' 이 연속이면 당연히 f는 미분가능함. f' 이 꼭 연속이 아니더라도 f' 이라는 함수가 잘 정의되는 시점에서 미분가능한 것 - dc App

[익명(59.15)]

2. [x=a에서 미분가능] = [f'(a) 존재] - dc App

[익명(59.15)]

[극한 lim(x->a) f'(x) 존재], [f'(a) 존재] 이 둘을 가정하면 반드시 f'(x) 가 x=a에서 연속이어야 함 (다르부 정리) - dc App

[익명(59.15)]

하지만 f가 미분가능하다고 해서 f' 의 모든 극한값이 존재하리라고 보장할 수 없음. - dc App

[익명(59.15)]

수학을 대학가서도 열심히 공부하다 보면 훗날 재미있는 사실을 배우게 됨. 실수 전체에서 미분가능한 함수 f의 도함수 f'가 몇몇(무한한) 지점에서 연속이 아닐 수 있지만, 많아봐야 얼마 안된다는 것. - dc App

[익명(59.15)]

https://math.stackexchange.com/q/112067/315194
- dc App

[익명(110.70)]

질문을 이상하게 했네...ㅈㅅ