[대학교이상] 감소하는 무한서수열이 없다

[익명(123.199)]

증명 찾아보면,

수열의 각 항들을 모두 모으면 정렬집합의 부분집합이고

따라서 최솟값이 존재하는데,

무한이라 가정하면 최솟값이 없으므로 모순이다

이런 식으로 푸는데, 무한이면서 최솟값 있을 수 있는 거 아님?

[익명(59.15)]

무한히 작아지는데 최솟값을 어떻게 잡노 - dc App

[익명(123.199)]

그냥 직관적으로 생각하면 실수체에서(이건 정렬집합은 아니지만) a(1)=1, a(2)=1/2, a(3)=1/3, ..., a(ω)=0 이런 식으로 길이가 ω+1인 무한수열 잡을 수 있지 않음?

[익명(59.15)]

아 그걸 무한길이 서수열이라고 보는거? 내생각에 그 책에서는 ω+1 를 유한한 길이의 서수열이라고 정의할거같은데.. trasfinite induction 이 가능하게 쭉 늘어진걸 무한길이 서수열이라고 하지 않음? - dc App

[익명(123.199)]

아 저기서 a(ω) 제거한 부분집합을 새로 잡으면 여기에는 최솟값이 존재하지 않으므로 모순인 듯. 대충 이해함 ㄳ

[익명(223.38)]

아니 range가 서수여야지. 서수가 아닌 걸로 가는 수열을 가져다 놓고 최소가 있다고 하면 안되지. range가 서수이고 domain이 무한집합 {0,1,2,...ω} 인 함수 생각해도 얘가 순감소할 수가 없지.

[익명(223.38)]

그리고 transfinite induction for ordinal은 특별한 제한 없으면 ordinal 전체의 class에서 성립을 보장하는데 transfinite induction이 가능하게 하는 수열 이런 개념은 없음. 이게 특히 더 분명하게 드러나는 건

[익명(223.38)]

ordinal에 대한 transfinite induction 말고 well founded relation이 주어진 set 또는 (특정 조건을 만족하는) class에 대해서도 transfinite induction을 생각할 수 있는데 그 set 또는 class가 어떻게 생겼든(예를 들어 R-relation의 꼭대기 같은게 하나 있든) 적용가능함

[익명(221.160)]

서수가 뭔진 알지?

[익명(163.152)]

Well ordered 되있는데 무슨소리하노