{A_i}_{i in I} be family of classes , ∀i in I, B_i is subset of A_i

define i-projection = p_{i} : ∏_{i in I} {A_i} -> A_i,

define product ∏_{i in I} {A_i} = { f ㅣ ∀i in I i, f(i) in A_i s.t. f : I -> U_{i in I} A_i }

p_{i} ^-1(X) is set of pre-image of p_i (X) 일 때,


prove that ∩_{i in I} p_{i}^-1( B_{i in I} ) = ∏_{i in I} {B_i}를 증명해야 하는데,

f in ∩_{i in I} p_{i}^-1( B_{i in I} ) => ∀i in I, f in p_{i}^-1( B_{i in I} )

=> ∀i in I , ∃x in B_i s.t. (f, x) in p_i 이기에


함수 p_{i}가 surjection임을 이용해서 pi의 codmain의 pre-image가 domain과 같으며 그것은 product B_i와도 같으니 등호가 성립한다는 논지로 갈건데,


p_{i}가 surjection인 이유는 product 정의로 인해 U_{i in I} B_i의 원소들은 각각이 임의의 index 원소들에 의해 순서쌍의 자리를 가지게 되기 때문입니다.


임의의 product에 대한 projection은 항상 surjection한 함수가 맞나요? 만약 아니라면 문제는 어떻게 풀어야 할까요.

그리고 제 논지가 가능한 논리라면 어떻게 수학적 문장으로 적어야 할 지 잘 모르겠습니다.