[중고딩문제] 주기함수 미분하면 주기함수

[익명(39.7)]

근데 주기가 그대로 보존되나요?
p가 f의 주기라 치면 f'의 주기도 p임?

[익명(223.39)]

f(x+p)=f(x)이면 f'(x+p)=f'(x)인건 맞는데 둘의 주기가 같지 않을 수 있지

[익명(39.7)]

폐구간에서 미분가능한 f 중에 그런 함수가 있나요

[익명(58.122)]

위 식이 둘의 주기가 모두 p 라는 뜻 아님?

[Itsutsugo(lillollool)]

주기는 저걸 만족하는 p중 절댓값이 가장 작은거 아님?

[익명(39.7)]

그니까 주기성은 보존되는데 최소 주기도 보존되는지가 궁금함 폐구간에서 미분가능한 함수 중에 그런 함수가 있나

[익명(223.39)]

전구간에서 미분가능하면 연속이니 주기 같지 않나

[익명(121.136)]

가령 f의 주기가 p라라고 해보자. 그러면 f'의 주기는 적어도 p/n꼴임 (n은 자연수) (왜냐하면 귀류법으로, 주기가 다른 유리수 혹은 무리수일때 f'(x)=f'(x+p)에 모순됨. 정수론적 논법) 이제 f'의 적분가능성을 슬그머니 인정하면 (인정 안할때는 모르겠음) x부터 x+p까지 f'의 적분은 x부터 x+p/n까지 f'의 적분의 n배임.

[익명(121.136)]

전자는 0인데 후자는 f(x+p/n)-f(x)의 n배가 되어 결국 f(x+p/n)=f(x)을 얻게됨. n이 1이 아니라면 모순 따라서 f'의 주기도 p임 (f'이 리만적분가능할때)

[익명(39.7)]

f가 폐구간에서 연속적으로 미분가능하면 최소 주기가 보존되는군요

[익명(58.122)]

와

[익명(121.136)]

근데 이 방식은 f'의 적분가능성이 가정되지 않으면 문제가 생기잖음? f가 미분가능한 주기함수이면 f'가 연속이 되지 않을까? 하고 생각해서 계속 이걸 보이려고했는데 뒤늦게 잘못되었단걸 깨달았음... 가령 f'가 연속이 안되는 유명한 함수인 f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0), f(0)=0 인 f에 대해, f를 [-1/pi , 1/pi]까지 자른 것을 계속 이어붙이면 이것 또한 주기함수지만 f'는 0에서 불연속임.

[익명(121.136)]

그래서 생각을 계속 해봤는데 답이 안나와서 구글링해보니 더 좋은 답이 있었음.
그냥 위와 같은 정적분(리만적분가능 가정이 필요) 대신, 부정적분(역도함수, 원시함수)의 주기성이 p라는 것을 보이면 되는 문제였음.
https://proofwiki.org/wiki/Primitive_of_Periodic_Function
이거하고
아래 Also see 보셈. 그러면 위와 같은 가정을 할 필요가 없어짐

[익명(39.7)]

고맙습니다

[익명(35.180)]

당연 미분은 local property 임