[일반] 이거 주기함수 틀린설명아님?

[익명(118.235)]

설명하면서

f(x)의 주기의 후보는 저 순서대로차례로대입하며

성립하는지 "검색"하다가

안되는 최초의값이잇다면 바로그전항이 최소의양수,주기라는데

https://youtu.be/xWclQlre9RU

영상 정확히 4분부터의설명임.

틀린거아냐??

f(x+1)=f(x) 만족하고

f(x+1/2)=f(x) 만족안해도

f(x+1/3)=f(x)는 만족가능한거아님?

대충 그래프그려도 나오는거같은데

- dc official App

[익명(121.136)]

그러게? 다른 경우 봐도 1/2 되고 1/3 되는데 1/4안되는 경우도 주기가 1/3이란건 말이 안 되는데? 1/3은 1/2를 못 만드는데 2와 3의 lcm인 6과 적어도 관련이 되야할텐데 적어도 우리가 이해한대로라면 저 설명은 틀린듯.

[ㅁㅁ(221.154)]

주기가 1/3이라는게 아니라 k라는 주기에서 p(정수)배가 된놈을 역으로 추적하는 과정이라서 3k일때 1/3을 시켜서 최소 주기를 찾는 과정임.

[ㅁㅁ(221.154)]

f(x+1/2)=f(x) 만족안해도 f(x+1/3)=f(x) 만족하는거 없음

[익명(219.249)]

네가 1을 예시로 들어서 헷갈린 거 같은데 1*1이라고 생각해보셈. n을 반복횟수라고 했을 때 2로 나눴을 때 성립되지 않는다는 말은 그 이상으로 반복이 불가능하다는 논리임. 그러면 2도, 3도 안되는 게 맞는거. 만약 2가 된다했을 때 지금의 주어진 A가 주기가 두번 반복된 값이라는 의미니까 주기가 가능한거고, 3이 안된다는 말은 A가 3번 반복된 수 X

[익명(121.128)]

1) 일단 주기함수라고 해서 모든 x에 대해 f(x+p) = f(x)인 최소의 양수 p가 존재하는 것은 아님. f(x)가 x가 유리수일 때는 0, 무리수일 때는 1인 함수라면 모든 유리수 q에 대해 for all x f(x+q) = f(x)가 성립함. q가 1/100도 될 수 있고 47/100000000000도 될 수 있음. 우리가 보통 생각하는 그런 최소주기가 존재하려면 조건을 걸어야 함.

[익명(121.128)]

2) T = {a | f(x+a) = f(x) for all x in R}라고 하자. 그리고 어떤 m > 0에 대해 a > m for all a in T가 성립한다고 하자. 이 경우 최소주기가 존재함을 보일 수 있음. a1, a2가 T의 원소이고 a1>a2일 때, a1-a2 < m이면 모든 x에 대해 f(x+(a1-a2)) = f(x)가 성립하고, 따라서 a1-a2가 T에 속함으로 a > m for all a in T라는 조건에 모순임. 따라서 T의 모든 원소들은 서로 간의 간격이 m 이상이고, p = inf T는 p = min T도 만족하여 p가 f의 최소주기임.

[익명(121.128)]

3) 그렇다면 이렇게 f의 최소주기 p가 존재하지만 그 값은 우리가 모르고, 단지 f(x+a) = f(x) for all x in R인 어떤 a 값만이 주어져 있다고 하자. 그럼 저 강사가 말한 방법대로 a를 자연수로 차례차례 나눠가면서 f(x+a/n) = f(x) for all x를 만족하는 최대의 n을 찾으면 p = a/n이 성립하는가? 성립함. 일단 p가 최소랬으니 a > p는 당연함. a를 p로 나눠서 몫을 n, 나머지를 b라고 하자. 그럼 a = np + b, 0 <= b < p임. 이 경우 모든 x에 대해 f(x) = f(x+a) = f(x+np+b) = f(x+ b)가 성립함. b > 0이라면 b는 p보다 작은 주기가 되어 최소주기가 p라는 가정에 모순임. 따라서 b = 0이고 a = np임

[익명(121.128)]

따라서 최소주기가 존재함을 가정할 경우 저 강사 설명대로 자연수로 차례차례 나눠서 최소주기 p 찾는 거 십건웅

[익명(121.128)]

수정 : "a > p는 당연함" -> "a >= p는 당연함"