Serge lang 선대 보고있는데 이거에서 막힌다.
이런게 짜증나는게 A가 가역일 필요충분조건은
AB=BA=I 인 B 가 존재 하는건데 시발 하나만 보임
첨부터 다시쌓는다는 마음으로 해서 일차독립 및 기저 그리고 연립방정식과 일차독립관계 이정도만 가지고 증명해야함
행렬식 쓰면 쉽지.. 근데 탑쌓는 마음으로 하니까
이런게 짜증나는게 A가 가역일 필요충분조건은
AB=BA=I 인 B 가 존재 하는건데 시발 하나만 보임
첨부터 다시쌓는다는 마음으로 해서 일차독립 및 기저 그리고 연립방정식과 일차독립관계 이정도만 가지고 증명해야함
행렬식 쓰면 쉽지.. 근데 탑쌓는 마음으로 하니까
근데 저게 정의 아니야? - dc App
left inverse= right inverse인걸 보이는거라면 BA=I AC=I라두고 B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C 하면 되나 - dc App
A가 가역이라는 조건 없으면 좀 어려워지는거같은데 AB=I에서 B의 range가 n이어야하는걸 이용해서 0=(I-BA)B이렇게 해보릴수도 있을듯? - dc App
우선 A, B 모두 L_A, L_B : F^n→F^n인 linear map으로 볼 수 있음, 정의역과 공역이 일치하니깐 linear operator가 되고 이 경우 dimension theorem에 의해서 linear operator L:V→V가, dimV=n=dim(KerL)+dim(ImL)일 때 단사(KerL={0})면 전단사(imL=V)고 전사(imL=V)면 전단사(KerL={0})임 그래서 L_AoL_B=I(항등함수) 이면 모든 F^n의 원소 x에 대해서 L_B(x)가 존재해서 L_A(L_B(x))=x니까 L_A는 전사고 따라서 전단사가됨 그래서 가역이고 양변에 L_A^(-1)을 취하면 L_B=(L_A)^(-1)
혹은 L_B(x)=L_B(y)이면 양변에 L_A 합성해서 x=y를 얻으므로 L_B는 단사이고 따라서 전단사라 가역이며, 그래서 L_A(L_B(L_B^(-1)(x))=L_B^(-1)(x)=L_A(x)로부터 L_B^(-1)=L_A 를 얻고 두 경우 모두 L_AoL_B=L_BoL_A=I임을 알 수 있음. dimension theorem 조차 못 쓰고 선형독립써야할거면 L_B가 단사인거 보이는거에서 출발해야할거임
늦은밤에 고마워 오늘은 늦었으니까 자고 일어나서 꼭 내손으로 증명해볼게
AB = I 에서 det(A)det(B) = 1 이므로 det(A), det(B)는 모두 0이 아님. 따라서 A,B 모두 역행렬 존재.
이렇게 행렬식 성질 사용해서 풀면 안됨? 댓글들 다 돌아가고 있길래
보통 행렬식 이전에 선형사상 배우니까 그때 저거 증명해봐서 그럴껄? 나도 map으로 하는 증명부터 생각났음
x를 Bx=0의 해라고 하면 x=Ix=ABx=0에서 방정식이 자명해만 가지므로 B가 가역이지 - dc App
그러면 AB=I에서 양변에 B^{-1}를 오른쪽에 곱하면 A=B^{-1} 나오니깐 BA=I도 성립 - dc App
injective면 bijective다