[대학교이상] 근데 x^10+1이 기약이되는 체 Zp가 존재행?

[익명(125.130)]

교수님에게서 유한체쪽은 다항식 자체도 분류가 다 끝나서 죽은수학이란 소리를 들었는데..

저런것도 분류되나 싶어성

더밋에서 x^4+1은 소수 p에 대해서 가약(reducible)이라 하구

증명도 잘 이해가. 그런데 개인적인 생각은

x^n+1이 Zp에서 기약(Irreducible)일 수 있나 생각이들었거든

n이 홀수면 -1을 해로 갖으니 말이 안되구

n이 짝수일 때가 문제가 될 거 같은데

혹시 지식좀 공유해줄 수 있을까?

[ALTa(tladud123)]

찾는 내용이 있을지는 모르겠는데 factorization over finite field 같은거 검색해보면 나올지도

[ALTa(tladud123)]

그리고 방금 대충 끄적여봤는데 x^10 + 1이 irr. 인 finite field는 없는것 같음

[ALTa(tladud123)]

귀류법으로 irr이라 가정하면 Zp[x]/(x^10+1) = R이 field가 될텐데 그럼 x+1이 R에서 역원을 가질테고... 역원을 f(x) = a9x^9 + ... a1x + a0 in R 이라 하면 (x+1)f(x) = 1 인데 x^10 = -1 이용해서 계수를 정리하면 char이 2밖에 안나오더라고

[익명(223.62)]

x^10+1=(x^2+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)

[ALTa(tladud123)]

(x^2)^5 + 1 이니까 당연히 인수분해가 되겠군 내가 너무 어렵게 풀었다

[익명(125.130)]

와 고마워 이대로라면 모든 짝수에 대해서도 기약이 될 수 없겠네?

[ALTa(tladud123)]

x^(2^n) + 1 에 대해서는 따로 보여야지

[익명(211.224)]

P=3 일때 X^2(x^2n-2 + 1)하면 안되는거임?

[익명(211.224)]

분해만되면 되잖아

[익명(211.224)]

아니 아님 말고 너 솔직히 나 무시했지?

[익명(211.224)]

내가 수학못한다고 무시까지당해야하나

[익명(211.224)]

X^2가 상수라안되네 ㅈㅅ