그거 생각난다. 그.. 집합 X 위에서 정의된 함수 중에서
(|x| >1) identity 외에도 다른 bijection이 존재함을 증명하는 문제.
이거 집합론 배울때 선택공리로 증명했던것 같음. 풀이과정은 기억도 안나네..
그런데 group action 공부하다보니 이걸로도 풀 수 있겠다는 생각이 든다. 먼저 X가 주어졌으니 이걸로 symmetric group S_x를 만들 수 있고 H를 S_x의 임의의 부분집합이라고 하면 X는 H-set임.
그러니 적당한 map ※ : H x X -> X 가 존재하여
(1) ※(e,x) = x
(2) ※(h1h2, x) = ※(h1, ※(h2,x)) 를 만족함
※(h,x) = h※x = hx 라고 쓰자 이렇게 해도 x는 X의 원소인게 분명히 보이니까 group의 원소들 사이의 연산과 헷갈리지 않을거임.
이제 각각의 h in H에 대하여
함수 F_h를 F_h : X -> X, by F_h (x) = hx 이렇게 정의하면 F_h는 permutation on X 이니까..
선택공리 없이도 직접 구성해서 보일 수 있다는 말이 되나
Symmetric Group S_X는 만들 수 있는데 S_X\{id_X}이 nonempty임을 보여야지. 사실 그냥 임의의 두 점 잡아서 둘의 transposition만 잡아줘도 되는데 임의의 점을 실제로 잡는데에서 선택공리 필요할듯
S_X \ id_X = nonempty임을 보이면 그 시점에서 그냥 증명 끝 아님? 이건 결론부에 있어야 하는것 같은데.. 그니까 F_i =/= F_j , if i=/=j 이런걸 추가로 보이면 되는거지?
아 이거 증명 안되겠네
그니까 S_X를 써서 보이려는 시도 자체가 이미 문제의 해답을 전제하고 있단거임. 순환논증이라 해야하나? S_X\{id}가 nonempty임을 보이기 위해 S_X\{id}임을 증명없이 쓴거라
어어 되나? 본문에서 ※가 존재한다고만 언급했지 이걸 구체적으로 잡진 않았는데 ※가 무엇인지 구체적으로 잡을 수 있음. X가 H-set임을 증명하기 위해서 ※를 이렇게 잡았었음. ※ : H x X -> X by ※(h,x) = h(x) 그러면 F_i = F_j 라고 가정하면 F_i (x) = F_j (x) i※x = j※x i(x) = j(x) i=j
F_h들끼리 같고 다르고가 중요한게 아니라 S_X(또는 H)가 id 제외하고 nonempty임이 전제되지 않으면, 그리고 선택공리를 쓰지 않으면 F_h의 h를 잡는게 불가능하단거임
아.. 맞아 난 본문에서 분명히 각각의 h라고 했지 헛짓거리 ㅅㄱ ~~~~~~~~
두 개 원소잡고 바꿔치기 하는건 안됨?
223.39가 말한대로 임의의 점을 잡는 부분에서 선택공리 필요할듯 난 그냥 그런 점을 잡는 과정 없이 가능한지 궁금해서 이렇게 시도해봤음
유한개는 상관없을텐데
그런가 그럼 간단해지겠네
아마 원문제가 모든 원소가 자기자신으로 가지않는 bijection이 존재한다 였을 것 같애
아 맞아 그랬던것 같아 내가 문제를 착각했네 그거 선택공리 필수야?
필요할 것 같은데..?
나 헛짓한거야?
S_X가 이미 bijection들의 모임인데 뭘 하겠다는건지 모르겠네 F_h 역시 마찬가지로 S_X의 원소의 표현일 뿐이지 action에서 나오는 특별한게 아닌데
bijection들의 모임이지만 223.39가 말한대로 S_x \ id_X = nonempty인지는 모름. 이게 결론이 되어야겠지 action에 대해서는 이제 막 배워서 말이지 사실 내가 action에서 배웠던건 카운팅 뿐임 ㅋㅋ
이거 하우스도르프 극대원리 원리로 하는 거 아니었나? 그러한 함수족들 사이에 부분집합 관계를 순서로 줘서 어쩌고 저쩌고. 수리논리와 집합론 입문에서 비슷한 문제를 봤던 것 같기도?