[일반] f(x)=f'(x)만족하는게

[지나가던사람9..(ymee123)]

일단 e^(x+C)가 유일하다고 하는데 일단 대입하면 된다고는 하는데 왜 유일한지는 모르겠음

혹시 f(x)=f'(x)식에서 차례차례 전개해서 f(x)=exp(x+C) 꼴 만들 수 있나여

- dc official App

[ALTa(tladud123)]

y = dy/dx dx = dy/y x = ln y + C1 y = e^(x-C1) = e^(x+C)

[ALTa(tladud123)]

변수분리형 이라는 미분방정식 풀이법으로 보일 수 있다

[지나가던사람99(ymee123)]

ㄷㄷ 감사합니다 - dc App

[지나가던사람99(ymee123)]

근데 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때 좌변에 dx, 우변에 dy있다고 해서 저렇게 다른 변수로 적분씌어도 되는건 어떻게 알 수 있나요? - dc App

[ALTa(tladud123)]

그게 변수분리형의 풀이법이라... g(y) dy/dx = f(x), dG/dy = g, dF/dx = f 라 하자. 양변을 x로 적분하면 int g dy/dx dx = int f dx 인데 좌변을 치환적분으로 바꾸면 int g dy 따라서 int g dy = int f dx, G(y) = F(x) + C (C는 상수) int = 인테그랄

[지나가던사람99(ymee123)]

감사합니닷! - dc App

[ALTa(tladud123)]

아래 댓글 보고 추가설명: 여기서 dx = dy/y 로 쓸 때 y가 0이 아니어아지 나눌 수 있으므로 이 풀이는 y가 0이 아니라는 가정이 들어간 것이다 따라서 y = 0 일때 해가 되는지 안되는지 확인을 한 번 해줘야 한다 그리고 1/y의 적분은 사실 ln y 가 아니라 ln |y| 이므로 정확한 해는 y = ±e^(x+C) (y가 상수함수 0이 아닐때)

[ALTa(tladud123)]

상수함수 y = 0 일때도 해가 되므로 정확한 해집합은 y = Ce^x 가 된다 (C는 임의의 상수)

[익명(175.223)]

{e^(-x)f(x)}' = (-e^(-x))f(x) + e^(-x)f'(x) = 0 => e^(-x)f(x) = C => f(x) = Ce^x

[지나가던사람99(ymee123)]

감사합니닷! - dc App

[익명(110.76)]

궁극의 해결법 : 폐구간에서 초기값이 주어진 상미분방정식의 해가 유일함을 보이고 난 뒤, 해를 찍어서 맞추든 변수분리로 찾든한다.

[익명(176.188)]

ㅇㅇ그냥 유일성만 보이면 될걸

[모리티맘(116.120)]

상수함수 0도 만족하는데

[익명(119.200)]

C가 마이너스 무한대라는거지~

[모리티맘(116.120)]

c는 상수항인데 무한대 ㅇㅈㄹ하고있네 ae^(x+c)로 일반화해라 게이야 ㅋㅋ

[지나가던사람99(ymee123)]

ㅋㅋㅋ 알겠습니다 - dc App