전에 실수지수랑 초월함수(지수,로그,삼각)등을 해석학에서 정의하고 썼으면 좋겠다고 한 갤러인데


책 여러개 둘러보니까, 급수로 지수함수를 정의하고 이를 통해서 실수지수를 확장하는 방법이 있는것 같더라고. 즉 한세트로 실수지수, 초월함수를 다루는거지.


그 책에서 보니까 E(x)를 다들 아는것 처럼 정의하고 유리수 r에 대해서 E(r) = e^r이 성립한다고 증명함.


직관적으로 밑이 e일때 실수지수 e^x는 r_n이 x로 수렴하는 유리수열이라고 가정했을때 e^x = lim e^r_n 이 되어야 하잖아.



그런데 확장하는데에 있어서 좀 의문이 남는점을 질문하려고해.


r_n이 실수 x로 수렴하는 임의의 유리수열이라고 했을때


1. lim e^r_n 이 수렴한다는 깔끔한 증명

- x_n이 증가하는 x로 수렴하는 임의의 유리수열 이면 lim e^x_n 이 수렴한다는건 배웠음. (또 감소하는 y_n에 대해서도)

근데 이렇게해서 임의의 r_n에 대해 e^r_n이 수렴한다는 걸 보이는건 너무 돌아가는것같음.

왜냐면 이렇게하면 유리수 지수의 성질을 써야하고, 그러려면 유리수 및 정수지수의 성질도 증명해야하는데 이게 경우의수가 너무 많아서 깔끔하지가 않음...

예를들어 a가 0이 아닐때, 정수 m,n에 대해서 a^m+n = a^m*a^n 증명하는거 진짜 골때림.. a,m,n가 바뀌는 경우의수를 다 생각해야하니까

- 어 근데 생각해보니까 E(x)를 가정하면 사실 E(x) 는 실수전체에서 연속인 함수라서 lim e^r_n = lim E(r_n) = lim t->x E(t) = E(x)가 돼.

즉 lim e^r_n 는 E(x)로 수렴하고 이 값을 e^x라고 정의하면 되겠네?


2. 이런 E(x)는 유일할까?

임의의 유리수 r에 대해서 F(r) = e^r 이라고 정의하고 무리수에 대해서 적당히 정의할때 연속이되게 되는 함수 F는 E(x)로 유일할까?..