[일반] 왜 허수는 대소관계를 논할수없는거냐

[익명(223.38)]

대소관계 = 1차원에서의 위치관계 아님?

복소수는 2차원이라 안된다는걸 알겠는데

복소수집합에서 임의의 직선을 잡아도 대소관계를 논할수있어야허지않는가?

이상 고졸정공의 고민이었다.

깊이있는 토론을 원한다.

[익명(119.202)]

그래서 그건 가능한건데 그 직선을 어떻게 선택할건데

[익명(119.202)]

복소수에서 직선을 선택할 방법은 존나 많고 일단 잡았다치자 그럼 직선의 어느쪽 방향이 +임? 왼쪽 아니면 오른쪽

[익명(119.200)]

실수랑 동형이게 잡으면 됨

[익명(121.130)]

만들 수는 있음. 순서관계는 단지 해당집합×해당집합 부분집합들 중 조건 3개 만족시키는 부분집합일 뿐이니 근데 딱히 쓸모가 없으니 고교과정까지는 언급 안 할 뿐

[익명(121.128)]

복소수 집합을 포함해 그 어떤 집합에 대해서든 순서를 줄 수는 있음. 근데 실수 집합에서의 표준적인 순서는 실수에서의 덧셈과 곱셈 연산에 대해 일정한 규칙을 만족하여 실수체(real field)를 순서체(ordered field)로 만드는 반면, 복소수 집합에서는 복소수 덧셈과 곱셈에 대해 그런 성질을 만족시키는 순서가 존재하지 않음. 즉, 정확히는 복소수 집합에 순서를 줄 수 없다는 게 아니라, 복소수체를 순서체로 만드는 순서를 줄 수가 없다는 것임.

[익명(121.128)]

복소수 집합을 순서체로 만드는 순서가 존재한다고 가정하자. i < 0, i > 0 둘 중 하나는 참임. 전자가 참이면 -i > 0이 참임. 근데 i든 -i든 제곱해보면 -1이니 -1 > 0임. 다시 제곱해보면 1 > 0이 나옴. 이건 모순임.

[익명(121.128)]

복소수에 아무 순서나 줘도 된다면 서로 다른 두 복소수에 대해 실수부가 더 크거나 아니면 실수부는 같지만 허수부가 큰 쪽을 큰 수로 정해도 순서는 순서임. 근데 이런 순서는 복소수 위에 정의된 두 연산(덧셈, 곱셈) 모두에 대해 우리가 기대할 만한 좋은 성질들을 만족시키질 못함.

[CMT(ksb1365la96)]

대소관계는 줄 수는 있는데 복소수에서 알고 있는 다른 성질들(연산이라던가)과 잘 부합하게는 못 준다는거지 - dc App

[익명(59.15)]

대소관계는 정하면 됨. 다만 덧셈곱셈이랑 잘 연동되게 못만듬 - dc App

[익명(221.151)]

위에서 이미 언급했듯이, complex field에는 order를 줄 수 있는데, 이를테면 dictionary order (lexicographic order 라고도 불림)을 줄 수 있음. 그러나 ordered field가 되게 하는 order가 존재하지 않는 거지. 그 증명은 이미 위에 언급되어 있으므로 생략. 덧붙여서, C가 R의 field extension이라는 점에 착안해서 임의의 R의 finite field extension도 역시 ordered field가 될 수 없음을 알 수 있음. 이를 증명하기 위해서는 다음 명제가 참임을 알면 충분: K가 R의 finite field extension이면 K=R이거나 K는 R과 field isomorphic하다.

[익명(221.151)]

아 R과 field isomorphic이 아니라 C와 field isomorphic