제논의 역설 왜 아킬레스와 거북이 사이의 속도의 비율을 공비r이라 했는지 이해가 안 됩니다ㅠㅠ
"우선, 거북이는 아킬레스보다 100m 앞에서 출발한다. 따라서 아킬레스는 처음 단계에서 100m를 따라잡아야 한다. 그사이 거북이는 1m 앞으로 나아갈 수 있다. 이제 아킬레스는 두 번째 단계에서 1m를 따라잡아야 한다. 그사이 거북이는 1/100m 앞으로 나아갈 수 있다. 이제 아킬레스는 세 번째 단계에서 1/100m를 따라잡아야 한다. 그사이 거북이는 1/10,000m 앞으로 나아갈 수 있다."
"약간의 기호를 도입해서 등비 수열을 일반화해 보자. 첫 단계에서 아킬레스가 거북이를 따라잡기 위해서 필요한 거리를 a라고 하고, 아킬레스의 속도와 거북이의 속도 사이의 비율을 r이라고 하자. 그렇다면 우리에게 필요한 등비수열은 다음과 같이 주어진다."
등비수열 일반화하고 있다는 거까진 이해가 가는데
아킬레스의 속도와 거북이의 속도 사이의 비율을 공비로 쓴 게 이해가 안가요....ㅠㅠ살려주세요ㅠㅠ
그래야 다음 거리가 등비수열로 표현 되니까
감사합니다!! ㅠㅠ
위에 써있구만 '결론적으로 아킬레스가 따라잡아야 하는 거리를 나열하면 다음과 같다.' 하면서 나열한게 저 a, ar, ar^2, ... 수열임 - dc App
저 100, 1, 1/100 수열이 어떻게 나온건지 묻는거라면 이렇게 생각해보셈. 거북이는 아킬레우스보다 1/100배 느림. 즉 아킬레우스의 속도가 100v라면 거북이는 v임. 이 비율이 v/100v=1/100이고, 이걸 r로 두겠다는거임. 그러면 아킬레우스가 100=a만큼 갔으면 거북이는 100*(1/100)=ar만큼 감. (뒤에계속) - dc App
이제 저걸 일반화하면 됨. 아킬레우스가 a만큼갔을때 거북이가 ar만큼 간거임. 이것도 어려우면 이걸 풀어쓰면 되겠지. 아킬레우스의 속도를 v, 거북이의 속도를 w라두면 r=w/v이니까 아킬레우스가 a만큼 갔을때 거북이가 간 거리를 x라두면 아킬레우스가 a만큼 갔을때의 시간 = a/v = 거북이가 x만큼 갔을때의 시간 = x/w. 즉 - dc App
x= a(w/v)=ar이 되는거임. 그러니까 유사한 논리로 아킬레우스가 a_n만큼 갈때마다 거북이가 간 거리 a_(n+1)은 a_n에 r을 곱한게 됨 - dc App
자세한 설명 감사합니다!!!(×10000) 그런데 어떻게 망령님께서는 둘 사이의 속도의 비가 공비가 된다는 것을 한 번에 아신 거에요????
다른 똑똑이들은 모르겠는데, 나같은 일반인은 한 번에 알았다기보다 저자가 위에서 쓴 수열인 100, 1, 1/100에서 '아 대략 다음 거리는 이전 거리에 속도비를 곱한게 되겠구나' 라고 직관적으로 그럴싸한 추측을 한거임. 저자가 괜히 저 수열을 먼저 쓴게 아님. 암튼 저 추측을 굳이 논리적으로 정당화한게 내가 쓴 거일 뿐임 - dc App
감사합니다 즐거운 밤 되세요!!
1."동일한 시간동안 거북이는 아킬레스의 ☆배를 기어갈까?" 2. 속도의 비를 구하면 된다. 거북이는 아킬레스의 w/v배를 기어갈 것이다. ☆가 공비가 된다. ☆=r=w/v 감사합니다ㅠㅠ