현재 프렐라이 책으로 동형확장정리에 대해 공부하고 있음


[동형확장정리] (질문에 맞게 살짝 위치만 수정함)

체 E는 체 F의 대수적 확대체이고, F'_는 F'의 대수적 닫힘(폐포, closure)이다.

이 때 @가 F에서 F'위로의 동형사상이라면, @는 E에서, F'_의 한 부분체 위로의 동형사상 @'로 확장된다.



그런데 바로 뒤에 '체 확장 지표'라는 것을 다음과 같이 소개함.

'체 E가 체 F의 유한 확대체인 경우는, F를 고정시키는 동형사상 (E에서, F_의 한 부분체 위로의 동형사상)의 개수는, F와 E에 의해서만 완전히 결정된다.'

그리고 그 개수를 '체 확장지표' 즉, F위에서 E의 지표 {E:F}라고 정의함.




그런데 저 개수를 셀 때 위의 동형확장정리에서 F'=F인 것을 이용하여 증명했음. 그런데 좀 이상함

왜냐하면 동형확장정리로 세어지지 않는, E에서 F_의 한 부분체 위로의 동형사상의 존재성을 부정한 적이 없음.

그러니까 동형확장정리는, 그러한 동형사상의 존재성만 보장해줄 뿐, 그러한 모든 동형사상을 만들 수 있는 만능도구인지 아닌지가 궁금하다는 것임.

이것을 수학적으로 표현해보면 이렇게 될 것 같음.



Q.

체 E는 체 F의 유한 확대체이고, F_는 F의 대수적 닫힘(폐포, closure)이다.

F를 고정하는, E에서 F_의 한 부분체 위로의 임의의 동형사상 @'을 잡을때마다,

F에서 F로의 항등사상 @을 동형확장정리로서 @'로 확장할 수 있는가? (위의 질문에서 F를 고정시키니까, 항등사상이라고 잡았음)



여기서 '동형확장정리로서 확장했다'는 말은 '동형확장정리가 그러한 동형사상의 존재성을 보장할 때 사용된 방식 그대로 확장할 수 있는가'라고 해석해주면 되겠음.



아무튼 이걸 증명하려고 했는데, 책에서 굳이 소개를 안 했다는건 trivial하단건데 아래 내가 한 증명은 너무 길어서 이게 맞는지 질문함...

일단 증명이 맞는지 궁금하고, 혹여나 더 나아가서 이것 외에 trivial한 관찰이 있는지도, 아니면 증명과정 중에 더 쉽게 넘어갈 수 있는 부분이 있다면 알려주면 감사하겠음 (괜히 똥꼬쇼한 기분임)















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먼저 유한 단순확대체인 경우부터 증명하면 된다고 생각했음. 왜냐하면 유한확대체는 대수적 원소들에 의한 유한생성확대체니까,

(a1, a2, ..., an가 만약 F 위에서 대수적이라면) E=F(a1)인 경우만 증명하면 E=F(a1,a2, .. ,an)인 경우도 유사하게 증명될거라고 생각했음.




(case1 유한단순확대체)

즉 E=F(a) (a는 F상의 대수적 원소) 인 경우는, 위에 언급한 @'을 잡을때마다 항등사상 @을 동형확장정리로서 확장할 수 있는지 살펴보는 것임.


그러면 동형확장정리가 어떻게 확장시키는지 알아봐야 했음. 즉 동형확장정리의 증명을 조금 빌려쓰자면

F에서 대수적 원소 a를 잡아서 irr(a,F)을 구하고, irr(a,F)를 @로 보낸 뒤에 (@의 정의역을 F에서 F[x]로 자연스레 확장함. @(x)=x을 이용)

@(irr(a,F))의 한 근을 아무거나 b라고 두면 (물론 @는 항등사상이니 @(irr(a,F))=irr(a,F))

이제 @'를, @'(a)=b를 만족하는 F(a)와 F(b)의 사상이라 두고 @'가 동형사상임을 증명하면 동형확장정리가 끝난다는 내용임.


그런데, 위의 과정에서 a와 b는 F상에서 켤레임. ( irr(a,F)의 한 근을 b라고 두면 b의 최소다항식도 monic, 기약 조건이 유지되기에 irr(a,F)이 되기 때문)

그러니까 임의로 F(a)에서 F_의 한 부분체 위로의 동형사상 @'을 잡을때마다, @'(a)가 항상 F상에서 a의 켤레가 된다면

항등사상 @을 동형확장정리를 통해 @'로 확장하는 셈이 됨.



따라서 이제 증명을 해보자면, 위의 명제에 해당하는 @'을 임의로 잡고 @'(a)=b라고 두겠음.

그러면 irr(a,F)=p(x)라고 두면 p(a)=0이 됨. 여기서 양 변에 @'을 적용시키면

p(x)는 F(x)의 다항식이니 계수가 F의 원소이므로 @'에 상관없이 고정되고, 따라서 @'(p(a))=p(@'(a))=p(b)가 되니까 b 또한 p(x)의 근임

따라서 b는 a와 F상에서 켤레임. 따라서 위의 논의에 의해 항등사상 @은 동형확장정리로 @'로의 확장이 됨.

(쓰고보니 @'가 켤레동형사상하고 똑같은 말이 되네)







(case2) 유한확대체

이제 일반적으로 유한확대체인 경우만 증명하면 됨. 대수적 원소를 2개만 넣은 F(a1, a2)의 경우를 기반으로 생각함.


이제 F를 고정하는, F(a1, a2)에서 F_의 한 부분체로의 동형사상을 @'라고 두겠음.

이제 F에서 F(a1)으로, F(a1)에서 F(a1,a2)로 위의 동형확장 과정을 각각 적용시켜 @을 확장한 사상을 각각 @1, @2라고 두겠음.

이제 @2로 @'을 표현할 수 있는지가 증명하고자하는 목표임.




일단 @'(a1)=b1라 두면 case1의 과정에 의해 a1과 b1은 F위의 켤레가 됨.

따라서 @'은 정의역을 F(a1)로 제한하면 @1으로 표현할 수 있음.


이제 이것을 한 번 더 어떻게 동형확장 정리로 확장시키는지 살펴보겠음.

즉 F(a1)에서 F(a1, a2)으로 @1을 어떻게 @2로 확장하는지 살펴보겠음.

irr(a2, F(a1))을 역시 @1을 F(a1)[x]로 자연스럽게 확장한 사상으로 보내주면 @1(irr(a2, F(a1)))이 됨. 여기의 한 근을 b2라 두겠음

(앞과 달리 irr(a2, F(a1))은 F(a1)의 다항식이므로 @1을 벗기지는 못함)

그러면 이제 F(a1, a2)와 F(b1, b2) 사이의 동형사상 @2가 생김. (F는 고정, @2(a1)=b1, @2(a2)=b2)


이제 이 @2으로 @'을 표현할 수 있는지 살펴보겠음.

이것은 @'(a2)가 @'(irr(a2,F(a1))의 근이 되는지 밝히면 됨.

왜냐면, @'의 정의역을 F(a1)으로 제한시킬 때의 동형사상 @1은 case1에 의해 찾을 수 있고,

따라서 @'(irr(a2,F(a1))=@1(irr(a2,F(a1))이 되기 때문에 이것을 위의 동형확장 논리에 적용시킬 수 있기 때문임.


irr(a2,F(a1))=c0+c1x+...+cnx^x라 두겠음.

그러면 @'으로 보내주면 @'(c0)+@'(c1)x+ ... + @'(cn)x^n이 되며, a2에 대한 대입 준동형사상에 의해 이 식은 다음 식으로 보내짐.

@'(c0+c1a2+ ... + cn(a2)^n).

이 때, c0+c1a2+ ... + cn(a2)^n=0이므로 @'(c0+c1a2+ ... + cn(a2)^n)=0임. 따라서 @'(a2)가 @'(irr(a2,F(a1))의 근이 됨.




이제 F(a1, a2)의 경우는 증명했음. 그런데 일반적으로 F(a1, a2, ... ,an)의 경우도 위와 같이 증명할 수 있음을 관찰할 수 있음.

(물론 수학적 귀납법 쓰면 되겠지만 그러면 기호가 더러워질것같아서 이걸로 퉁침)

따라서 모든 유한확대체의 경우도 증명했음.