책 읽다가 나온 내용인데 궁금해서 물어바요
맨 밑에 세 줄 요약 있음
아래는 책에서 발췌한 내용이에요



곱셈에 대하여 가장 잘 알려진 속성은 가환적commutative이라는 것이다. 즉 어떤 수든 a와 b의 경우 항상 a×b=b×a가 성립한다는 것이다. 곱셈을 반복적 덧셈으로 인식한다면 모든 한 쌍의 수, a와 b에 대해 이 사실이 유효해야 하는 이유가 전혀 명백하지 않다. 실제로 순진한 유추에 따르면 곱셈은 피승수와 승수를 다르게 처리하기 때문에, 즉 전자는 반복적으로 그 자체에 더해지는 반면 후자는 이 연산을 실행하는 횟수를 정하기 때문에 본질적으로 비대칭적이다. 이는 분명히 두 숫자가 전적으로 대체 가능한 역할을 수행하는 가환성의 이미지와 맞지 않는다. 순진한 유추는 이 핵심 속성에 아무런 통찰을 제공하지 않기 때문에 아동(혹은 성인!)은 a가 b번만큼 그 자체에 더해지는 경우가 b가 a번만큼 그 자체에 더해지는 경우와 항상 같은 결과를 낳는다는 사실에 당황할 수 있다. 물론 임의로 가환성이라는 사실을 추가하여 곱셈 개념을 풍부하게 만들 수 있지만 곱셈을 반복적인 덧셈으로 보는 순진한 유추는 이 사실을 자연스럽다기보다 기이하게 보이도록 만들 것이다. 


(관련 없는 내용 생략)…학교교육이 곱셈에 나오는 두 숫자가 호환된다고 가르친다는 사실에는 반박의 여지가 없다. 우리는 모두 곱셈이 가환적이어서 a×b=b×a임을 알며, 특별히 생각하지 않아도 이런 자리바꿈을 실행할 수 있다. 그러나 가환성에 대한 지식을 활용하여 곱셈을 한다고 해서 어른으로서 곱셈을 이해하는 수준이 초등학생의 이해 수준보다 훨씬 높은 것은 아니다. 실제로 비공식적 조사에 따르면 진지한 수학 애호가를 제외하면 거의 누구도 가령 5×3이 3×5와 같은 이유를 알지 못한다. 중학생, 고등학생, 심지어 대학생도 대개 곱셈에 나오는 두 수를 바꿀 수 있는 이유를 말하지 못했다. 그렇다면 그들은 어떻게 5개의 3이 3개의 5와 동일하다는, 기호로 표시하자면 3＋3＋3＋3＋3=5＋5＋5라는 사실을 자신에게 납득시킬까?

대다수 사람은 이 질문을 받으면 구체적인 사례를 통해 확인할 수 있다고 바로 대답할 것이다(“그냥 계산기로 아무것이나 원하는 대로 두 수를 가지고 실험해봐요!”). 또한 어떤 사람은 “곱셈의 경우 두 개의 인수를 바꿀 수 있어요”라는 공리를 들어 더 자세히 대답할 것이고, 다른 사람은 마치 일종의 마법이라도 있다는 듯이 “그냥 그래요”라거나 “그게 사실이라고 알려져 있어요”라고 노골적으로 주장할 것이다. 요컨대 교육을 잘 받은 대다수 성인에게 곱셈은 반복적 덧셈 덧셈으로 인지되기 때문에 그 가환성은 단지 분명한 설명이나 이유가 필요 없는 일종의 마법적인 우연처럼 보인다.
앞서 인용한 에티엔 베주의 산술 논문은 곱셈이 지닌 가환성에 대한 다소 장황하고 모호한 이유를 제공한다. 곱셈에 대한 시각이 반복적 덧셈이라는 순진한 유추에 기초한다면 인수의 순서가 아무 상관이 없는 이유를 묻는 것은 두 개의 다른 반복적 덧셈이 같은 답을 제시하는 이유를 묻는 것과 같으며, 수반하는 두 연산 사이에 명백한 대칭은 존재하지 않는다. 베주는 이 딜레마를 해결하려고 애쓰지만 말하는 내용은 그다지 명쾌하지 않다.
 
수를 추상적 개체로 본다면, 즉 수에 결부된 단위를 무시한다면 곱할 두 수 중 어느 것을 승수로 취하고 어느 것을 피승수로 취할지 여부는 아무 차이가 없다. 가령 3 곱하기 4는 1의 3배를 4번 취하는 것과 같으며, 4 곱하기 3은 4의 3배를 1번 취하는 것과 같다. 그러면 1 곱하기 4가 4 곱하기 1과 동일하다는 것이 자명해지며, 같은 추론을 다른 모든 수에 적용할 수 있다.
 
대다수 성인은 a×b가 항상 b×a와 동일하다는 사실을 유용하지만 설명되지 않은 우연이며, 그저 경험적으로 참이라고 간주한다. 그들은 자전거가 쓰러지지 않는 이유와 비행기가 공중에 떠 있는 이유를 ‘이해’하는 것과 같은 방식으로, 즉 대부분의 시간 동안 그런 현상을 보았고, 그것이 설명이 필요한 수수께끼임을 오래전에 잊었기 때문에 곱셈의 가환성을 ‘이해’한다고 생각한다. 또한 교육은 분명히 곱셈이 가환성을 지닌다는 사실을 학생들에게 주입하지만 곱셈의 속성에 대한 깊은 이해를 심어주지는 못한다. 그래서 초기의 순진한 유추에 계속 의지하게 만든다 - <사고의 본질> 중에서



파란 글씨 보면 ‘수학 애호가를 제외하면 a×b=b×a가 성립하는 이유를 알지 못한다’ 고 되어있는데, 
그래서 성립하는 이유가 멀까요
책 읽어봐두 답 안써쥼 ㅜ

저어는 처음에 저거 보고 생각했던 게
1을 a번 더한 걸 b번 더한 거랑 1을 b번 더한 걸 a번 더한 거랑 같으니까 성립하나? 했는데
 굵은 글씨로 표시한 부분 보면 위같은 생각이 “그다지 명쾌하지 않다” 고 되어있어서 글쓴이 맘에 드는 ab=ba인 이유에 대한 대답이 너무 귱금해요

- dc official App