[대학교이상] 유한체가 소체의 유한확대체인 이유?

[익명(121.136)]

현대대수학 읽고있는 학생입니다

근데 보다보니 석연찮은 부분이 있어서 질문드립니다

유한체가 소체(prime field)의 유한확대체인 것이 잘 이해가 가지 않습니다

부분체가 된다는 것 까지는 정리가 있으니까 알겠는데 왜 유한확대체인지는 한 번에 이해가 가지 않아요...

그냥 소체를 스칼라로하는 벡터공간의 공리를 만족함을 보여야 하는 문제인가요?

[익명(141.223)]

유한체면 무조건 x^(p^n)-x=0이라서

[익명(121.136)]

제 책(프렐라이)에는 그걸 보일때 이미 소체의 유한확대체임을 이용하더라구요..

[익명(141.223)]

그럼 만약에 유한확대체가 아니라고 하자 그러면 어떤 임의의 원소 x가 존재해서 어떠한 polynomial의 근이어서도 안됨. 그러면 1, x ,.......전부 다 포함해야하는데 얘네들은 다 달라야함 같으면 polynomial의 근이란거니까. 그럼 유한체가 아님

[익명(121.136)]

유한체 F가 소체의 유한확대체가 아닐때, F의 임의의 원소 a가 어떠한 다항식의 근이어서 안 된다는게 왜 인지가 잘 이해가 안 가네요... 그러니까 저게 a가 소체 위에서 대수적이 아니다는 걸 의미하는거 맞나요?

[익명(141.223)]

어떠한 다항식에 대해서도 근이면 안된다고

[AKIRAx(chrislee93)]

유한확대체가 아니면 원소가 무한개잖아

[익명(121.136)]

아 그러니까 F의 확대체 E는 그 자체로 벡터공간인데, 그것이 유한차원을 가지지 않는다면 무한차원을 가지는데 이 경우 무한집합이 된다고 이해하면 되겠네요. 무한차원 벡터공간은 잘 모르지만 뭔가 무한집합이 될 것 같네요