미적분학 공부중 궁금한게 생겨 질문 드립니다

f(t)=(e^t)*(cost,sint) 라 할때(정의역은 R)
f는 단사이므로 적당히 공역을 제한하여 역함수 f^(-1)를 갖도록 할수 있잖아요?
여기서 f^(-1)의 미분을 생각하고싶은데,
f^(-1)의 정의역 f(R)은 그 안의 어떤점에서도 제가 배운 미분의 정의를 적용할수가 없을것같더라구요

( 제가 공부한 정의에선 R²상의 어떤 점에서 미분을 논하려면 그 점을포함하는 적당한 (R²에서) 열린집합에서 함수가 정의되어있어야 하는데 f(R)은 R²내의 곡선 형태라서 직관적으로 안될것같아 보입니다 )

그래서 생긴 궁금증이

위의 f^(-1)예시를 정의역내의 어떤점에서도 미분불가능한것으로 판단하는 미분의 정의에서

n>m일때
R^n의 한점을중심으로하는 반지름d인 열린 n차원 공에서
R^m으로 가는 미분가능한 단사함수가 존재하는가?

n<m일때
R^n에서 R^m으로가는 미분가능한 단사 f가
(국소적으로라도) 미분가능한 역함수를 가질수 있는가?

입니다

그리고 만약 안된다면
처음 예시에서의 f^(-1)같은 함수들도
미분을 생각할수있도록 확장한 미분의 정의가 있는지
있다면 언제쯤(또는 어떤 과목에서) 배우게되는지와 간략한 설명도 해주시면 정말감사하겠습니다

궁금한게 많은데 언어능력이 병신이라 질문하는법을 모르겠어서.. 본문에 더 쓰지는 못할것같아요 답글로 추가질문 남길게요 받아주시면 감사하겠습니다