이인석 학부대수학강의2 대수학 교재의 463p에 있는,

후반부 갈루아 이론 다 훑고 이를 이용하여 4차 방정식의 근의 공식을 구하는 과정에서 나온 연습문제입니다.

F = 표수가 2, 3 이 아닌 체

E = F (s1, s2, s3, s4) ; s1~s4 들은 부정원 (indeterminates)

K = E 위의 general polynomial 의 분해체 F(x1, x2, x4, x4) ; s1=x1+ ... +x4 등...


E 위의 general polynomial 의 갈루아군 Gal(K/E) 를 S_4 로 identify 하고, S_4 의 조성열(composition series) 을

{id} < Z_2 = {id, (1,2)(3,4)} < V_4 = S_4의 다들 아는 그 정규 부분군 (클라인 4군) < A_4 < S_4

로 표기할 때, K 의 Z_2 고정체가 위와 같이 E(x1x2, x3x4), 그리고 E(x1+x2, x3+x4) 와 같음을 보이는 문제입니다.


문제가 좀 이상해보이는게, Gal ( K / E(x1x2 , x3x4) ) 를 생각해보면 이는 Z_2 가 아니라 {id, (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) } 가 되는거같은데... 도와주세요 ㅠㅠ