[일반] 실수 위상 콤팩트성 뭐라고 이해해야하나요?

[익명(211.238)]

열린집합, 닫힌집합은 직관적으로도 이해했는데

콤팩트 집합이란것들 보면 공통점이 잘 안보여서.. 뭐라는지 모르겠습니다.

[김이요°(karma5)]

유한개의 영역으로 나눌 수 있다 -> 어떤 성질이나 명제를 유한 개의 영역에 대해서만 보이면 된다 혹은 거리가 주어진 함수공간에서 수렴하는 부분수열의 존재를 알 수 있다 -> 어떤 성질을 만족하는 함수열의 존재가 보장된다.(holomorphic function 에 적용한 경우 리만 사상 정리에 쓰임)

[김이요°(karma5)]

거리공간에서 콤팩트 집합의 직관적인 성질중 하나는 완비성이고 이는 예컨데 빵꾸가 뚫린 공간(점이 빠진 공간)은 콤팩트 하지 않다고 이해할 수도 있고 유클리드 공간의 경우에서는 하이네 보렐 정리로 어떤 느낌인지 감을 잡을 수 있으나(유계이고 닫힌) 일반적인 공간에서 적용되는 얘기는 아님

[10eeLhoR(supervised)]

나는 좀 더 공부하다보면 이해했던듯. 유한개의 오픈 커버가 쓰일때가 꽤 있고 흥미롭드라

[익명(1.252)]

계속 공부하다 보면 저절로 이해됨

[ALTa(tladud123)]

Heine Borel 정리에 따라 실수위상에서 compact는 closed and bounded와 동치이다

[카카오(73.146)]

저는 Heine Borel이랑 sequentially compact으로 이해했어요.

[카카오(73.146)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space#Historical_development

[익명(222.98)]

riemann surface compactification같은거 생각해보면 공간에서 덜 닫힌부분에 지퍼쫙채우는느낌?

[익명(147.47)]

수업하느라 분석좀 했었는데 역사적으로 uniformly continuous를 만족하는 domain를 정의하기 위해 compact를 정의했고 Bolzano-Weierstrass thm을 일반화하기 위해 seq compact를 정의했름

[익명(147.47)]

이렇게 말하면 뭔소리인가 싶을테니 볼차노 바이어슈트라스 만족시키는 집합을 compact로 이해하는게 역사적으로도 수학적으로도 괜찮음. 나중에 함수공간 배우면 아르젤라 아스콜리 배울텐데 그때 컴팩트가 어디서 쓰였나 또 분석해봐