Munkres Topology Chapter 22. The Quotient Topology


p.143 example 7입니다.


문제 자체는 quotient map의 product는 quotient map이 아닐수도 있다는건데. 과정에서 헷갈리는 부분이 있어서요.


X = R

let X* be the quotient space obtained from X by identifying the subset Z+ to a point b.

let p: X->X* be the quotient map.

Q( 유리수집합 ).

i : Q -> Q인 identity map.

p x i : X x Q -> X* x Q


일단 기본적인 문제의 상황은 위와 같은데요.

neighborhood of b in X* = W 라고 할 때

(n-k, n+k) is a subset of p(-1)(W). ( when k < 1/4 )

즉 W의 preimage는 모든 자연수에 대한 epsilon ball의 union이 된다고 이해했는데요.

그러면 그 뒤의 논리는 이해가 되는데, preimage를 정의하는 과정에서 좀 헷갈리는 부분이 있어서요.


b도 결국 R상의 한 점이니까 예를들어 3.14라고 해볼게요.

그리고 k = 0.1로 하면 (3.04 , 3.24) is open set in X*.

p^(-1)(3.04, 3.24) = { 3.14의 preimage인 모든 자연수 } U (3.04, 3.14) U (3.14 , 3.24) 처럼 될 것 같은데.

X*의 p라는 quotient map에 의한 역상이 제가 바로 위에 적은게 아니라 3.14에 의한 r=0.1인 ball이니까

모든 자연수에 대한 r=0.1인 open ball 들의 합집합이 되는게 맞나요?

일단 풀이와 뒤의 설명을 보면 그렇게 이해하는게 맞는 것 같은데요.

저는 여기 나온 p : X -> X*라는 quotient map 을 ( 자연수 -> b로 보내고, 나머지는 identity 라고 생각했는데. 

이렇게 해서 하면 역상이 모든 자연수에 대한 open set의 union으로 표현되지 않는 것 같아서요.

제가 X*에서 b라는 점에 의한 preimage를 어떻게 정의해야할지 헷갈리는 것 같은데, 도움주시면 감사하겠습니다.

위에 예시로 든 3.14부분은 아예 이해를 잘 못 한걸까요