[일반] R하고 무리수집합하고 equipotent 한걸 어떻게 보이나요?

[익명(116.32)]

직관적으로는 당연히 그럴거 같은데

막상 직접 equipotent 하다는걸 보이려고 하니 잘 안됩니다

도와주십셔. 

[김이요°(karma5)]

[0, 1) 과 (0, 1)은 bijective 하니 (a, b)U(b, c) 랑 (a, c)랑 bijective 하다는 것을 알 수 있음(1) interval 과 half real line은 bijective 함(2) 이제 R에서 유리수 n개를 뺀 것과 n+1개를 뺀 것이 bijective하다는 것을 (1)과 (2)를 통해 알 수 있음

[김이요°(karma5)]

유리수는 countable하니 귀납법을 적용하면 증명 끝

[김이요°(karma5)]

정확히는 귀납법은 아니고 U_0->U_1->U_2->… 의 limit object로 보면 될듯 (U_n 은 유리수 n개 뺀 집합, U_n+1은 U_n 에 포함됨)

[익명(116.32)]

답변 감사합니다. 예전부터 가지고 있던 궁금증인데 수학적 귀납법을 써서 모든 자연수 n에 대해 성립한다는걸 알아냈을때 무한히 큰 n에 대해서 역시 성립한다는 결론을 낼 수 있는건가요?

[김이요°(karma5)]

임의의 자연수에 대해 성립한다는거랑 무한한 경우랑 달라서 귀납법으로는 안됨 초한귀납법이나 limit 구조로 설명해야 함

[익명(116.32)]

오 감사감사

[김이요°(karma5)]

생각해보니 이런식으론 안되겠다 밑에 사람이 쓴 거 보면 될듯

[익명(77.111)]

유리수 집합의 원소가 x_1,x_2,...로 나열되어 있다고 할 때, 임의의 자연수 i에 대해서 y_{2i-1}=x_i, y_{2i}=x_i + 루트(2)로 두면 y_1,y_2,y_3,...는 모두 다른 실수가 됩니다. 이제 R에서 무리수집합으로 가는 bijection f를 만들어줄건데, x가 R-{y_1,y_2,..}의 원소라면 f(x)=x로 두고, x=y_i라면 f(x)=y_{2i}로 둡니다. 그렇다면 f는 injection이고 f(R)=R-{y_1,y_3,y_5,...}=R-{x_1,x_2,..}가 되므로 f의 image는 무리수 집합입니다.

[김민성태팬클럽회장(thecoqproofassistant)]

[익명(116.32)]

와우 equipotent임을 보이는거 뿐만 아니라 전단사함수까지 직접 구성해버리네