수학적 귀납법으로 자연수 n에 관하여 성립한다는걸 밝혔다고 해서
무한히 큰 수 n에 대해서도 성립한다고 결론지을 수 없다고 들었습니다.
예를 들어 위상의 원소 U1, U2, U3... 들의 유한교집합은 다시 위상의 원소가 되지만
그렇다고 무한교집합이 위상의 원소라고 할 순 없는것 처럼 말입니다.
그런데 집합론 교재에서 (집합과 수의 체계, 계승혁)
집합 X가 유한집합이 아니면, 자연수집합 N과 대등한 X의 부분집합이 존재한다
라는 정리를 증명하면서
x1을 빼도 X는 비어있지 않아 (x1을 빼서 비어버리면 유한집합이라 무한집합이라는데 모순)
또다른 x2 ∈ X 를 잡을 수 있고
x1, x2를 빼도 X는 비어있지 않고 (x1, x2를 빼서 비어버리면 같은논리로 모순)
x3를 잡을 수 있고
계속해서 x1, x2, ... ,xn 까지 빼도 비어있지 않으니
또 xn+1을 택할 수 있고
이와 같은 방법으로 계속하여 x1, x2,... 를 택하면
A = (xn : n = 1, 2, ... }은 X의 부분집합이고 N과 대등하다고 나와있습니다.
즉 하나하나 더해가며 크기가 특정한 자연수 n인 집합 A를 구성한게 아니라
크기가 알레프널인 집합을 구성하였습니다.
그런데 이런 논리에 의하면
U1 ∩ U2 는 위상의 원소이고
U1 ∩ U2 ∩ U3 도 위상의 원소이고
Un 까지 교집합해도 위상의 원소이니 Un+1을 택할 수 있고
이와 같은 방법으로 계속하여 U1, U2... 를 택하면
∞
∩ U i 역시 위상의 원소다
i=1
라고 할 수 있는거 아니겠습니까?
제가 느끼기엔 두 논리에 별 다른 차이점이 없어 보입니다.
그런데 어떨때는 무한히 큰 n에 대해 어떨때는 성립하고
어떨때는 성립하지 않는데 어떻게 구분해야 하나요?
전자는 임의의 n에 대해서 원소가 n개인 부분집합을 찾을 수 있다는 것에 귀납법이 쓰였고 A를 구성할 때에는 귀납법이 안쓰임 A_n 을 원소가 n개인 집합이라 할 때에 합집합한게 A 니까
이제 A가 X의 부분집합이고 N과 bijective 하다는 것은 귀납법으로 증명하는게 아니라 구체적으로 bijection을 만든다던가 해서 증명할 수 있음
무한집합이 자연수집합 N과 대등한 부분집합이 존재한다는 명제의 증명에서, 암묵적으로 수열 x_1,x_2,..를 만드는 과정에서 axiom of dependent choice를 사용한겁니다. 무한집합을 정의할때, 집합 X에 대해서 (1) 임의의 음이 아닌 정수 m에 대해서, X에서 {1,2,..,m}로 가는 bijection이 없으면 무한집합이라 한다. (2) 어떤 proper subset Y가 존재해서 X와 Y 사이에 bijection이 존재한다, 이 둘 중 하나의 정의를 채택하는데, axiom of choice (혹은 약화된)을 전제하지 않으면 (1)과 (2)는 실제로 동치인 명제가 아닙니다.
보통 (1)의 정의를 infinite set의 정의로 채택하고, (2)의 정의를 dedekind-infinite set의 정의로 채택합니다. ZF 위에서 집합 X가 dedekind-infinite하다는건 어떤 countably infinite한 subset을 가지는것과 동치라는걸 증명할수 있죠. 수학과 과목에서 암묵적으로 선택공리를 사용하는 경우는 비일비재합니다. 수학과 입학하자마자 처음 듣는 해석학 과목의 각종 명제에서 특정한 수열을 구성하는 경우가 많은데, 그냥 원소를 하나씩 뽑으면서 증명하는 경우들이 많죠. 이런 명제들은 대개 선택공리를 안쓰고 증명할수 있긴 한데, 그러면 증명이 좀 지저분해지기 때문에 이런 언급을 잘 안합니다.