일단 전 수학 전공자가 아닙니다.
옛날부터 개인적으로 간직하고 있던 궁금중인데 여기있는 사람들은 배운 사람들이니 한번 물어볼게요 저는 a = b 같은 대수학이나 수론에서 나오는 등식이라는 것이 기하학의 합동이라는 개념과 뭔가 연관되지 않을까 생각했습니다.(물론 서로 상이한 영역의 개념을 단순한 유비추론으로 연결 지은건 저도 비약임을 인지하고 있습니다)
일단 저는 등식은 좌변과 우변의 양이 같다 정도의 직관(시각적으로는 양팔저울의 각각의 팔에 올라간 추의 무게가 같아서 평형을 유지하는 이미지)으로 이해하고 있습니다. 유클리드 기하에서 합동은 SSS, SAS, ASA, AAS 같은 각, 변이라는 두개의 합동 기준으로 어떤 두 모양이 같냐 다르냐를 판단하는 것으로 알고 있습니다. 직관적인 이해로는 두 도형을 이동시키면 완전히 포개어진다 정도의 이미지로 이해하고 있어요 등식과 기하학의 합동이 연관된다면 기하학의 닮음이라는 개념은 무엇과 연관이 될까? 생각했습니다 합동이라는 개념이 닮음의 특별한 경우이니까요.
닮음에 대한 저의 직관적인 이미지는 각을 고정하고 변의 길이의 비율을 늘리고 줄이는 것도 허용하는 좀더 느슨한 기준이지만 더욱 일반적인 경우까지 모양을 구분하는 기준으로 생각하고 있습니다. 저는 닮음이라는 개념이 수론의 나머지 연산과 비슷하다는 유비추론을 통해서 이것도 뭔가 관련이 있을 것 같다는 생각이 들었습니다.
나머지 연산은 나누는 수(mod n)를 고정하고 나머지만 같으면 A ≡ B (mod n) 두 수 A, B를 같다고 보자나요 A의 크기가 B보다 얼마나 크든, 작든 상관이 같다고 보는게 닮음이 떠올랐거든요
저의 질문은 이것들이 수학적으로 어떠한 관련이 있는가? 입니다.
수학에서 identify라는 개념이 있는데, 서로 다른 대상이라도 내가 원하는 성질에 따라서 같은 것으로 취급할 수 잏다는 것이다
물론 아무 것이나 동일시할 수는 없고... 동치 관계가 되는 관계들에 대해서 그러한 작업을 하는데. 예를 들어 집합 {1, 2, 3}과 {a, b, c}를 보면 두 집합은 분명 다른 집합이지만, 집합의 원소의 갯수 측면만 보자면 둘은 같다고 볼 수 있다
집합에서는 집합의 크기(=원소의 갯수=기수), 정수론에서는 나머지의 크기, 대수학에서는 연산이 포함된 구조, 위상수학에서는 위상... 등등 서로 다른 대상이라도 내 필요에 따라서 같은 것으로 간주하여 대상을 분류하는 작업을 수학에서는 많이 한다
동치관계(quivalence relation)를 찾아보면 좋을 것 같고. 도형에서의 합동과 닮음 역시 동치관계이다
그것이 수학적으로 어떤 관련이있는가 밝히고 분류하는게 수학의 주된연구입니다. 본문에 말씀하신 도형의닮음을 도형의 어떤 특징만때와서 다른것과의 연관관계를 밝히고,또 일반적으로 도형만볼땐 풀기 어려운문제를 그런 다른 연관있는걸로 변환해서 풀기 쉬워지면 수학적으로 크게 의미있어지는거고요. 어떤 연관이있는지 모릅니다. 찾아보십시요!! - dc App
대개 이런 생각들은 잡생각이고 별 의미가 없다. 어린이라면 이런 고민하는게 기특하지. 어른이라면? 이런 고민할 시간에 수학 전공 교과서 펴고 공부를 해야지. 인풋이 없는데 고차원적인 생각이 어찌 가능할까? 생각을 이어갈 재료가 머릿 속에 하나도 없는데 무슨 요리가 가능할까? 뜬구름 잡는 잡생각의 연속일 뿐.
쓸모가 있는 걸 고민해야 함. 수학에서 배우는 수많은 정의들은 다 "쓸모 있음이 판정났기 때문"임. 님의 첫 문단의 문제제기가 어떤 측면에서 유용함? 그걸 설명 못 하면 그냥 쓰레기행임
쓸모있는 생각이긴한데 그게 동치관계 같은 걸로 확장이 되어있으니 뭐 굳이 그렇게 특정 몇개만 협소하게 설명하는 개념은 좀 별로지
수학에선 이런 논의는 공장에서 같은 펜 두개가 나왔는데 이걸 보고 이 펜은 같지 않다... 같은 펜 두개라는게 존재하는가?? 이런 식의 비생산적 논의로 보입니다.