첨부한 필기는 그냥 의식의 흐름대로 한거라 차라리 글 읽어주시는게 더 편하실 것 같습니다. 그래도 일단 올려볼게요.



일단 기본적인 개념은 알고있어서, D_8 group에 대해서 Aut(D_8) = D_8 , Inn(D_8) = klein 4 group.이라고 하길래, 결론은 알고있는 상태로 이게 맞는지 써봤어요.



일단 D_8 group = { 1, r , r^2, r^3, rs, r^2s, r^3s }을 정의했구요.

D_8 -> D_8로 가는 Isomorphism을 찾아야 해요.


phi : D_8 -> D_8이라고 할 때,

phi( r ) = r  , r^3  이라는 2개의 후보가 있고

phi( s ) = rs, r^2s , r^3s, s 라는 4개의 후보가 있었습니다.


D_8은 r,s로 generate되니까 그 두개가 어디로 가는지가 Isomorphism 1개를 만든다고 생각했습니다.

그래서 2 * 4 = 8 이니까 Aut( D_8 )'s order is 8. 이고.( 이게 D_8이라는건 증명 가능하겠지만 일단 넘어갈게요 )


( Q1. 여기서 r -> s로 갈 수 없고, s->r로 갈 수 없다는 사실은 s와 r의 order가 다르기 때문이라서 그렇다고 생각했는데 맞을까요?

generater를 어디로 보낼지에 대한 고민을 할 때, 같은 order의 원소로 보낸다고 생각하면 되는지 궁금합니다. 예를 들어서 order m인 원소가 있다면 그게 Domain에서도 m제곱을 하면 1이 될 것이고, 1은 map에 의해서 1로 가니까 Image의 경우도 order가 m이 되어야 하니까요. 

또한 s와 r^2의 경우 둘 다 order가 2 임에도 s - > r^2 으로 갈 수 없는 이유는 그렇게 되면 image에 rs같은 원소가 나올 수 없겠더라구요. 예를 들어 sr - > r^3, sr^2 -> identity.. 등등 )


-----------


r -> r^3, s -> r^2*s로 가는 맵은 s에의한 conjugate로 표현될 수 있더라구요.


그런데 r->r, s->rs로 가는 맵에 대해서는 적당한 conjugate를 찾을 수 없었습니다.


Conjugate는 G의 각 원소에 대해서 정의될 수 있기 때문에 총 8개가 정의되는데.

Conjugate로 표현될 수 없는 Isomorphism이 있다는 말은 곧 어떠한 2개 ( 혹은 그 이상 ) 의 원소에 의한 Conjugate의 Isomorphism이 같은 Map을 만든다고 생각했고


s 와 rs의 conjugate에 의한 map은 서로 동일해서

2개의 원소가 묶이더라구요. ( 아마 나머지 6개도 2개씩 묶이겠죠? )

그러면 Conjugate에 의한 Isomorphism은 총 4개가 정의될 것이고.

이러한 4개의 Isomorphism에 의한 Group이 정의되는데, 이 Group이 Klein 4 group이 되기 때문에 Inn(D_8) = Klein 4 group이다.

라고 이해를 해도 괜찮을까요?


글이 횡설수설이라 읽어주실지 모르겠지만 가끔 여기에 질문하려고 글 쓰거나 정리하다보면 그 과정에서 이해가 갑자기 되는 경우도 있고 그래서 일단 한 번 쭉 써봤습니다. 혹시 읽어주시고 제가 잘 못 이해한 부분 있는지 알려주시면 정말 감사히 듣겠습니다.