f(x)=f'(x)가 모든실수x에 대해성립하면
f(x)=0 또는 f(x)=ke^x (k>0) 인데
이거외에 존재하지 않는 이유가,
일단 f(x)가 0이아닐때엔 적분해서 f(x)=ke^x임을 알수있는데
0인경우가생기면,전부다0이다에 대한증명이..
f(a)=0이되면 그지점에서의미분계수도0이돼서
함수의변화의방향 변화율이 y=0 상수함수가되어
a에 아주근처들값이 0의방향으로가고 0이되고
또 근처값들도 0의방향으로가고.. 계속해서0된다
이 직관이 옳은지궁금해요 이건 엄밀하진않은거같은데
뭔가느낌적으로 이럴거같다는 생각이들어서. .
근처값들이 0에매우가까울거고,미분계수값도0에매우가까워지고..
실수는 바로그다음값이란게없으니 결국 0 극한이되어 쭉0이다 란 직관인데..
- dc official App
맞는듯 엄밀함을 원하시면 역학계(dynamical system) 찾아보세요!
고등과정으로는 엄밀하게 f(a)=0이 있다면 전체에서0이다를 증명할순없나요? - dc App
음 연속함수 사잇값성질을 사용하면 증명할수잇는거같은데, 이건 저 직관을 나타내는 증명은 아닌가요? - dc App
참고로 꼭 k>0 일 필요는 없음 f(x) = ke^x (k는 임의의 실수) 꼴이면 다 성립함
f(x)=ke^x는 맞는데 k가 0이상일 필요는 없음
그리고 그 직관은 틀림 y=e^(-1/x^2)보면 계속 미분해도 0에서 값이 0인데 상수함수가 아님
함숫값이 0이 되는 x값이 있으면 단순히 그냥 ke^a=0이라고 하면 e^a은 0이 될수 없으니까 k가 0인거임
f'(x) = k 꼴의 함수는 직관적으로 x가 일정하게 커지고있을때, f(x)에 값을 일정하게 '더해나가는' 느낌이면 f'(x) = kf(x) 는 x가 일정하게 커지고있을때 f(x)에 값을 일정하게 '곱해나가는' 느낌임. f(a) = 0 인 a가 있으면 f(a)에 아무리 일정하게 곱해나가봐야 0인거지
고딩과정으로 엄밀히 증명하고 싶으면 g(x) = f(x)/e^x 를 미분해보셈
사실 0일때는 자명하기 때문에 이해하기 쉽게 따로 교과서 같은데 명시해놨고 사실은 ke^x에서 k가 0인 경우로 생각해도 되지. 는 윗댓글에서 이미 설명했네