확대체의 대수적 원소 u에 대하여


그것의 일리듀서블 (미니말) 폴리노미알을 구하는 방법으로


적당히 더하고 빼고 곱하고 나누고 제곱하고 해서 구한다고 나와있는데


예를들어 루트2 + 루트3의 Q상에서의 일리듀서블 미니말 폴리노미알은


x = 루트2 + 루트3


적당히 제곱하고 옮기고 해서 x^4 -10x^2 +5 = 0 를 얻고


일리듀서블 미니말 폴리노미알은 x^4 -10x^2 +5 이 된다고 나와있습니다.


제가 궁금한 것은 이런식으로 적당히 더하고 빼고 곱하고 나누고 제곱해서 얻은


이 다항식이 정말로 일리듀서블 미니말 폴리노미알임을 어떻게 증명하는지가 궁금합니다


즉


1) 이 방식으로 얻은 다항식 (p(x)) 보다 차수가 낮고 u를 근으로 가지는 다항식 (q(x))가

존재할 수 없다는걸 어떻게 보이는지


2) 이 방식으로 얻은 다항식 p(x)가 아이젠슈타인 판정법을 만족하지 않는다면

정말로 Q위에서 기약인지 어떻게 확신할 수 있는지


가 궁금합니다.