물론.. 수학적인 얘기는 아니지만 "증명을 할때
증명을 생략하는 보편적으로 가정하는 명제가 있다" 인 면이 있다고 생각하는데, 예를들면 수학적 귀납법을 집합론에서는 증명을 하지만
교재 등의 초반에서만 그렇고 웬만해서는 넘어가잖아?
또 대표적으로, 해석학의 정리들은 완비순서체의 존재성을 거의다 가정하고 증명하고(마찬가지로 초반에서만 증명)
궁금한점은 이런 가정하는 또 다른 명제가 어떤 것들이 있는지 정리해볼 수 있을까 하는거임. 가능?
증명을 생략하는 보편적으로 가정하는 명제가 있다" 인 면이 있다고 생각하는데, 예를들면 수학적 귀납법을 집합론에서는 증명을 하지만
교재 등의 초반에서만 그렇고 웬만해서는 넘어가잖아?
또 대표적으로, 해석학의 정리들은 완비순서체의 존재성을 거의다 가정하고 증명하고(마찬가지로 초반에서만 증명)
궁금한점은 이런 가정하는 또 다른 명제가 어떤 것들이 있는지 정리해볼 수 있을까 하는거임. 가능?
초반에 증명했으면 그걸 그대로 써먹을 수 있기 때문에 뒷부분에서는 증명을 안 하는 거죠 ...
ㅇㅇ 그렇긴 하지 근데 사실 증명이라고 하면 항상 완벽히 증명해야하는 거 아님? 집합론의 정리든 해석학의 정리든 증명은 완벽해야지 왜 생략할까. 난 그게 그저 '배웠기 때문에'라는 데에 이유가 있다기 보단 주요 정리가 뭔지 토픽을 맞추자는 것도 있는 것 같아서
아니요. 앞서 증명한 정리를 그 증명을 되풀이하지 않고 진술만 이용해 먹어도 완벽한 증명인데요.
왜 그렇게 생각하세요?
완비순서체가 존재하므로 쏼라쏼라 할텐데 여기서 완비순서체의 존재성을 생략하는 게 아니면 뭐임? 자연어라서 사실 형식적인 증명은 아니라해도 이게 증명이라고?
틀리진 않았겠지 물론
그리고 공통된 교재나 강의에서만 해당하는 얘기잖아?
수학 교재의 서술 방식이 마음에 안 드시나 보네요. 그런 마음가짐으로는 수학 공부를 하지 않으시는 걸 추천드립니다. 논리학 조금만 배우다 보면 수학자들이 형식적이지는 않지만 엄밀하게는 증명을 했다라는 것을 알 수 있습니다. 조금 더 공부하시면 형식적이지 않은 증명으로부터 형식증명을 작성할 수 있게 되고, 더 공부하면 증명의 핵심 아이디어만 가지고서도 형식증명을 작성할 수 있습니다.
댓글 좀 고치겠음 완비순서체의 존재성의 증명을 생략한다는 거고 물론 완비순서체가 존재하면 쏼라쏼라 이 명제자체는 틀리지 않았다는 거임(맞다는 거지)
아니 내가 언제 수학교재의 서술방식이 맘에 안든다고 했어 ㅠㅠ 교재는 솔직히 너무좋아! 증명도 정말 틀린게 없어! 근데! 해석학 교재가 아니라 해석학이라는 학문에 초점을 맞추면
주요 토픽이 다르다는 거지 ㅠㅠ 그리고 이걸 물어본건 사실 과제해야하는데 어디까지 생략하는게 가장 좋을까에서 나온거라구 ㅠㅠ
우리가 해석학 과제하는데 페아노 공리계의 모델이 있다는 걸, 잘 정렬시킬 수 있다는 걸, 마찬가지로 정수나 유리수를 꾸려나가진 않잖아 ㅠㅠ 이게 단지 교재앞에서 증명했기 때문이라고?
'단지' 교재 앞에서 증명한게 아니지... 교재에서 증명을 했다는 건 적어도 그 교재를 사용하는 동안은 그게 참이라는 걸 교수자와 학생 모두가 확인하고 받아들인 겠다는 거 잖아
코딩하는 놈으로서 저는 도저히 이해가 안 갑니다. 도대체 어떻게 앞에서 증명한 거를 불러와서 써먹는 게 과연 엄밀한 건지 의심할 수 있는 거죠? 모든 사람들이 같은 생각만을 할 수는 없지만 그래도 제 머리로는 도저히 공감이 되지 않습니다...
아니 지금 엄밀하지 않다, 교재가 잘못됐다 이 소리하는게 아니잖아 ㅠㅠ 단지 그 이유만은 아니고 더 중요한 이유가 있을 것같단데 솔직히 내가 생각해도 과제때문에 이러는 건 웃기긴해.. 포인트는 보편적으로야! 단지 그 교재에 적용되는 거말고
나는 너가 쓴글 보면 엄밀함이 의심된다는 걸로 보였음 ㅇㅇ 이미 배웠기 때문에 우리는 참임을 아니까 생략해도 괜찮은거고 너가 말한 대로 토픽을 맞추자는 것도 있겠지 꼭 필요한 선수지식 같은거는 preliminary로 떼서 앞에서 다루고 넘어가기도 하고
ㅋㅋ 과제 때문이면 수업 때 배운 내용이나 배울 때 이미 가정했던 것들은 따로 증명 안해도 되는거 아님?
배우고자 하는 주요 토픽에 맞게 쳐낼거 쳐내고 구별하는 것도 능력이라고 생각함
정 모르겠으면 진짜 하나하나 구성해서 다쓰면 될 거고 너가봐도 그게 아닌거 같다 싶으면 그 아닌 거 같은 건 빼면 될 거고 그러다가 필요한 부분까지 생략해서 감점 당하면 피드백 받으면 되고
완비순서체의 존재성은 좋은 책을 보면 나와있어요. 대표적으로 유리수 집합을 생각한다음 (물론 유리수의 구성은 페아노 공리에서 시작해서 정수를 만들고 ZxZ의 적절한 equivalence relation으로 만들수 있어요) dedekind cut또는 cauchy sequence를 통해 구성할 수 있어요. Stoll책 또는 Rudin책을 보면 됩니다.
어디까지 써야하는지릉 판단하는 것도 배움의 일종이다. 왜? 나중에 논문 쓸 때 어디까지 적어야 하는지 스스로 판단해야 하니까. 해석학 논문이라고 실수의 완비성부터 적어놓고 있으면, 당장 탈락이다.
집합론과 해석학을 구분하눈 기준은 분야의 주된 관심사와 성향이지 전제하고 넘어가는 정리들의 종류가 절대 아님.... 다른 분야라고 해서 서로 다른 파운데이션을 가지고 있지 않음. 현존하는 대부분의 수학 분야는(해석학뿐 아니라) 그 엄밀함을 집합론에 (막연하게) 의지하고 있음
1. 선수과목애서 배운 지식은 모두 활용가능 (고등학교 지식, 과목에서 Prereq로 지정하는 과목) 2. 해당과목에서 학습한 내용은 그 자체를 증명하라고 지시하지 않는 한 활용가능. 3. 그 자체를 증명할땐 그보다 앞에서 학습한 내용에 한해 활용가능.
제목이랑 글 내용이랑 별로 관련이 없어보이는데... 1. 이미 증명된 것은 증명 없이 사용해도 상관이 없다. (레퍼런스는 달아야겠지) 그렇게 하지 않으면 모든 수학 증명을 시작할 때마다 실수를 정의하고 관련 성질을 증명하고 위상 정의하고 이 짓거리를 해야 할텐데 이건 그냥 낭비지
완벽을 처음부터 끝까지 완전무결한 무언가... 정도로 생각하는 모양인데 파고들고 파고들수록 그런 의미의 완벽은 존재하지 않는다는 것을 알게 될 것이다
다만 교재의 경우 그 내용을 학습시키는데에 목적이 있고, 그래서 필요한 내용들을 단계적으로 앞에서부터 증명을 하고 뒤에서는 증명 없이 그대로 써먹지. 이건 시험에서도 동일하게 적용된다 (수업때 배운 정리는 시험 때 증명할 필요 없이 사용해도 된다)
2. 해석학과 집합론은 다루는 수학적 대상이 다른 거고. 위에 있는 댓글 말대로 증명의 스타일과는 관계가 없다.