실버만 Theorem 9.28에서 f(z)가 z_i ( i = 1.. n ) , infty에서 isolated singularity 일 경우
Res[ f(z) ; infty ] + sigma( from 0 to n ) of Res[f(z);z_i] = 0 이라는 내용이 있고.
아래 문제는 위의 공식에 대한 예제입니다
제가 헷갈리는건 infty에서의 isolated singularity에 대한 부분인데요
f(z)가 infty에서 isolated singularity < = > f(w) = f(1/z) has pole at z = 0 이라고 생각했는데.
위의 문제는 infty에서의 isolated singularity를 활용했는데 f(1/z)을 구해보면 z=0에서 pole을 가지지 않는 것 같아서.
혹시 infty에서의 singularity에 대해 이상하게 이해한 부분이 있을까요 ㅜㅜ
isolated singularity는 removable, pole, essential 전부 포함하는 개념임
아.. 용어를 헷갈렸네요. 그러면 제 질문에서 f(1/z)가 z = 0 에서 removable하므로 isolated singul~이다로 이해해도 될까요? Removable인 이유는 lim( z * f(1/z) ) = 0 .
f(z) 가 inf.에서 removable, pole, essential 인 경우의 정의가, 각각 f(1/z)가 0에서 removable, pole, essential인 것으로 알고있음 근데 정의를 떠나서 이 경우 굳이 "f(1/z)가 0에서 removable이라서 iso. sing.이다"고 말하는건 주객전도 아닌가 싶음(뒤에 계속)
f(z)가 복소평면에서 유한개의 iso. sing.를 가지니까, 적당한 R이 존재해서, 영역 {z : R
아 부등호 기호 넣으면 댓글 잘리네 ;; 암튼 계속 쓰면 norm이 R보다 큰 z들의 집합인, 영역D에 대해 f가 해석적이므로 f가 inf.에서 iso.sing.를 갖는다라고 바로 해도 됨. 물론 나는 저걸 정의로 알고 있는데, 생각해보니 책이 다르면 저게 정의가 아닐 수도 있어서 좀 그럴수도 있겠네
님이 말씀하신거 적어보면 D = { z l lzl > R } 인 경우 f : analytic in D, So f has isolated singularity in infty라는거 맞을까요?? singularity라는건 보통 analytic하지 않은 점을 말할 때 쓰는 것 같은데, 위의 정의는 analytic하지만 무한대에서만 아니다. 이런식으로 알면되나요..일단 제가 헷갈렸던 부분은 이해가 된 것 같아요. 앞으로 정의에 좀 더 신경을 써야겠네요.
ㅇㅇ 딱 그거임. 물론 내가 본 책에서는 명확하게는, inf가 포함된 확장된 복소평면에서의 얘기라 사실 영역 D도 "norn이 R보다 크고 동시에 inf.보다 작은 z"라고 쓰긴 씀. 물론 z가 그냥 확장복소수가아닌 복소수라면 너가 썼던것처럼 써도 문제는 없음. 아무튼 너가 이해한대로, 어쨌든 저 D는 적당한 inf.의 빠진(제거된) 근방이잖아? 그러니까
기존에 알고있던 iso. sing.도 그 점에 대한 빠진 근방에서 해석적이었음을 생각해주면, 어느정도 납득은 가는 정의임. 물론 f(1/z)의 입장에서 보면 저건 0과 1/R 사이의 영역에 대한 얘기니, 그래서 f(1/z)입장에서는 0이 iso. sing.인것과 동치라고 얘기하는것임
댓글 감사합니다. 개념의 중요성을 배워갑니다!
근데, z의 반경이 2인데, z=3일때의 값은 왜 구한거임? 그 I에 갑자기 마이너스가 붙은것도 그렇고
아 반경을 뒤집어준거구나