안녕하세요
피타고라스정리가 유클리드 기하학(유클리드 공간)에서 성립한다는 말을 주워들었는데(정확한진 모르겠습니다)
이 공간의 존재 자체를 증명할수 있나요?
이 공간은 왜존재하는거죠?
[일반] 공간자체를 증명할수 있나요?
triva(zomi12)
2021-08-26 14:05
추천 3
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수학이 하늘에서 뚝 떨어지는게 아님. 어떠한 관찰을 토대로 발전하는 거고, 피타고라스 정리도 처음에 그런 관찰들을 통해서 발견됐을 거임. 그러니까 애초에 "유클리드 기하가 잘 작동하는 범위에서" 발견된 거니까, 질문 자체가 좀 이상하다고 생각함니다
제가 원하는건 피타고라스 정리의 증명이 아니라 유클리드 공간자체가 존재(성립)하는 이유(증명)을 알고싶습니다
수학적 대상이 존재한다는 건 그 전에 필요성이 대두되거나 관찰되었기 때문임.
만들었으니까 존재하죠 - dc App
님이 말하는건 결국 실수 집합이 왜 존재하는지 증명하라는거랑 같습니다. - dc App
왜존재하는지 증명할수 없나요?
유클리드 공간은 이러이러한 성질을 만족하는 공간이 유클리드 공간이다라고 정의를 한거고. 특정 공간이 유클리드 공간인지(=유클리드 공간과 동치인지)를 증명할 수는 있어도, 그냥 있는 정의를 증명하라는 건 있을 수가 없음
정의는 원래 증명이 안되는건가요?
"삼각형을 증명하시오"라는 건 말이 안되지. "삼각형이라는 정의에 부합하는 예시를 보이시오"는 말이 되어도. 혹시 위에서 언급한 것처럼 유클리드 공간의 예시를 물었던 거라면, 벡터공간 R^n 위에 eucliden norm을 준게 가장 평범한 예시임
공간자체가 존재(성립)하는 이유(증명)을 알고싶다는건 잘못된 질문인가요?
수학적으로는 "그냥 정의된 것"이니 그게 "왜 그렇게 정의되었는지"에 대해서 공부해볼 수 있을 것이고, 그게 "어떤 의미를 가지는지"에 대해서도 공부해볼 수 있겠지만 왜 존재하냐고 묻는 건 글쎄. 애초에 현실에서 존재하지 않는 추상적 대상인데, 존재의 이유를 따질 수는 없는데. 필요성을 따지는거면 몰라도.
물리적 의미에서의 공간의 존재에 대한 증명이라면, 현재의 지식으로는 알 수 없다 에 가깝지. 왜 시간이 흐르는가? 왜 힘이 존재하는가? 이런 근원적 질문들에 가까운 것.
존재의 필요성이 존재의 이유가 될수는 없나요?
당연히 될 수 있지. 그리고 본인이 그렇게 받아들인다면 누가 뭐라고 그럴 수도 없는 거고. 다만 처음에 물어본 건 존재의 '증명' 이니까, 당연히 읽는 사람들은 수학적 증명을 떠올리겠죠?
제가 여기서 더 유의미한 말을 할수있을까요?
그니까.. 유클리드 기하의 공준들이 무모순임을 어떻게 증명할 수 있는지 묻는거야?
제가 수학을 못해서 그런데, 공간자체가 존재(성립)하는 이유(증명)을 알고싶다는건 잘못된 질문인가요?
그건 마치 "우주는 왜 존재하나요?" 라고 묻는것과 비슷해 보이는데 유클리드 기하가 존재해야 할 당위성을 묻는거야? 이건 가치판단의 영역 아닌가
그럼 수학에선 공간이 왜 존재하는지 증명할수가 없는건가요?
뭔가.. 유클리드 기하가 필연적으로 존재할 수 밖에 없는지 아님 인위적으로 만든건지 질문하는것 같은데 이 문제의 답은 어디에서도 못주지 정확한 답이라는게 있는지도 모르겠고
그러니까 너가 말한 '존재'가 뭘 말하는거야? 일반적으로는 존재성이라하면 어떤 체계 내의 존재성을 이야기하는데, 너가 말한 건 그런 체계 자체의 존재성을 묻는 느낌인데? 그럼 다른 얘기로 3이라는 자연수는 실제로 존재할까? 존재한다면 왜? 만약 3개의 물체를 떠올렸다면, 그건 3개의 물체이지 숫자 3 자체의 존재를 보여주는게 아니잖아?
너가 말하는 '존재한다'의 정의가 대체 뭐야?
만약 유클리드공간이 우주공간이라면(가정했을때), 이 우주공간이 왜 존재하냐는 말같아요 윗분말처럼
철학적인 얘기로, 너 주변의 사물은 존재한다고 생각해? 그렇다면 왜? 너라는 사람의 존재성은 일단 둘째치고, 실제로 너의 시각이나 촉각 등의 오감을 이용한 정보만으로 그 사물이 존재한다고 말할 수 있어?
저의 인식을 벗어나서 객관적으로 실제로 존재하는 달이나 지구같은 물체가 존재한다고 할수있다고 생각해요
왜 객관적으로 존재한다고 생각해? 혹시 존재하는게 아니라, 너가 실제로 본 것도 아니고 증명한 것도 아니며 순전히 바깥 과학자들과 수많은 사람들의 주장에 너가 교육되었다고 생각되지 않아? 아 물론 사이비처럼 들리겠지만 물론 나도 존재한다고 믿는 사람임. ㅇㅇ '믿는'사람이라고.
그러니까 내 말은, 결국 인간이 말하는 존재성은, 인간이 배제된 그 사물 자체만으로는 판단하기에는 어렵다는거지. 너가 어떤 대상이 존재한다고 느끼는 것은 그 사물과 더불어 너의 정신활동에 의한 결과물이라고 보는게 가장 타당한 생각이 아닐까? 그래서 내가 존재성을 '믿는다'고 표현한거임
저는 존재한다는걸 엄밀하게 정의할수있는 능력은 없지만, 보통 사람들이 실제로 존재한다고 말하는것들이 존재한다고 믿어요, 그리고 그 존재이유.. 그러니까 공간이 왜 존재하는지를 수학적으로 증명할수 있나해서요
'존재한다'를 수학적으로 보이려면 존재한다는 말을 수학적으로 정의해야하는게 순서임. 그런데 수학적으로 증명하려면 반드시 그러한 수학적 정의, 즉 그러한 정의가 포함된 체계가 필요함. 그러면 어떻게돼? 그러한 체계가 다시 존재하는지 의문이 생기잖아? 그러면 순환논법아냐?
그러니까 결국 너가 말한건 수학이 아니라 철학에 대한 얘기라고 생각함.
말씀해주시는건, 존재한다의 정의가 실제로 존재하는지 묻고계신건가요?
존재한다는 정의가 존재한다는건 또 무슨말이야? 많은 사람들이 헷갈리는게, 자신이 사용하는 용어의 뜻을 다른사람들도 똑같이 받아들일거라고 생각함. 실제론 전혀 아니잖아? 당장 토론프로그램만 봐도 같은 용어를 두고 서로 다른 얘기하느라 시간낭비하는 경우도 있고. 그래서 내가 이렇게 묻는거임. 너가 '믿는' 존재한다는 뜻이 대체 뭐야? 라고
아, 지금 제대로 봤네.. 그러니까 내가 한 말은 존재한다는 말의 존재가 아니라 그러한 말을 수학적으로 정의할 수 있는 체계의 존재를 말한것임.
제가 믿는 존재는 1. 사람들이 존재한다고 말해주거나, 2. 제가 직접 오감으로 느낄수 있거나 이런거요
그러면 1번정의가 '존재한다'라는 말을 다시 쓰는 오류를 범한걸 무시한다 쳐도, 공간은 존재하겠네. 다들 존재한다잖아. 근데 이런걸 원한거야? 아닐텐데?
저는 공간이 왜 존재하는지 수학적으로 증명가능한지, 아니면 물리에서 해야하는 일인지가 알고싶어요
그건 이제 대답할 수 있겠네. '너만이 정의한 존재한다는 정의'는 수학적이지 않으므로 수학에서는 증명이라는 형태로 보일 수 없음. 물리에서는 할 말이 없네. 그짝의 존재성은 뭔지 모름. 내가 볼땐 그러니까 '너가 정의한 '존재한다'에 맞는 수학적 정의'와 유사한게 있는지부터 살펴보는게 순서같은데? 왜냐면 너가 말한 존재한다는 뜻은 이러한 체계 속에 있는게
아니라 항상 체계 밖에 있게되잖아
제가 지능이 딸려서 말씀을 제대로 알아듣기가 힘들어지네요..
쉬운 예시로 내가 위에 썼던 예시 다시 가져와보면, 3이라는 수는 너는 존재한다고 생각해? 그니까 아라비아 숫자로서 3이라는 기호도 아닌, 세 개라는 그 관념으로서의 3이라는 자연수말야. 만약 존재한다고 생각한다면 왜?
수학적으로 3의 존재성은 증명할 수 없음. 하지만 모든 이가 존재한다고 말하지. 왜냐면 3이라는 관념은 모든 이가 공유하잖아. 대다수의 이가 세 개의 돌, 세 마리의 양, 3개의 물체를 보고 3이라는 관념을 추상화 할 수 있어. 그런데 이건 3이 사람하고 무관하게 그 물체로서 존재하는게 맞아?
사과가 3개 놓여져 있으면 사과라는 대상이 3번 관찰되니까 거기서 3이라는 개념 존재하게된게 아닐까요
맞아. 그래서 너가 말한 존재성은 결국 1. 물체에 대한 그 사람의 정신활동의 결과물. 즉, 2. 어떤 물체에 대한 수학적 추상화 이며, 그 증명은 3. 대다수의 이가 추상화를 공유할때 라고 요약해도 좋을까? 그러면 공간의 존재성도 설명 가능하네
요약하면 '다들 그런 수학적 추상화에 동의하니까. 납득이 가니까' 존재한다고 하면 너한테 딱 맞는 존재성의 증명이 되겠네. 보면 알겠지만, 객관적인 과정은 있을 수가 없음. 너가 바라는 것이 무엇인지 모르겠지만, 수학에서 객관은 사회적 합의에 불과해. 수학이 절대적 진리를 포함한다는 사상은 이미 옛것이라고.
참고로 수학적 증명이 절대불변의 진리라는건 반박된지 오래임. 자세한건 괴델의 불완전성정리를 참고.
그럼 정신활동의 결과물이 공간의 존재라면, 공간이 왜 존재하는가 물으면 그 정신활동이 증명이 되는건가요?
너가 그런 정신활동에 동의하면, 너한테 존재하는거지. 물론 어떤 사람이 '나는 동의 안하는데?' 하면 그 사람에겐 존재 안하는 거고. 뭔지 알겠음? 존재성은 오직 너의 내면에서 일어나는 일이며, 너가 믿는 존재성들의 대다수는 이미 다른 대다수도 '우연히' 믿는다고 동의할 뿐이라고. 아니면 너가 말한 것처럼 다른사람이 믿는 존재성에 묻어가거나.
혹은 다른 사람이 납득이 가게 설명하거나. 이런 설명이 수학에서는 수학적 증명임.
그런데 정신활동이 공간의 존재 이유라고 하기엔 실제 우주공간이 왜 만들어졌냐고 물으면 그걸 정신활동이 이유라고 할수있을까요?? 물리적 공간이 왜 만들어졌는지가 정신활동과 같을수 있을까요?
너는 물리적 공간이 실재한다고 믿나보네. 물론 나도 그래. 나도 존재성을 '믿어'. 믿는다고. 만약 믿지 않는 사람이 있다면, 그 사람에겐 이 공간이 실재하지 않는 허상에 불과하겠지. 그냥 그 뿐인 문제임.
너는 공간의 존재성을 다른사람이 너에게 맞게 설명해주길 원하는 것 같은데, 다시 말하지만 존재성은 너가 주체적으로 믿는 것에 불과하지, 객관적일 수 없음. 절대 불변의 진리로 존재하지 않는다고.
마지막으로 정리하면 1. 수학적 증명은 절대불변의 진리가 아니라 객관적이도록 '합의'한 것이다. 2. 존재성은 사물 자체만의 속성이 아니다. (윗 댓 참고) 3. (따라서, 적어도) 나는 존재성을 사물과 인간 정신 활동의 결합으로 설명한다. 4. 또한 적어도 수학자들은 수학적 개념에 대한 설명은 이러한 결합으로 설명한다. 5. 따라서 수학적 개념인 공간도.
이러한 '합의'의 결과에 따르면 존재한다고 보고, 따르지 않으면 존재하지 않는다고 보면 된다.
이게 산파술이냐?
갤로그 보니까 심하진 않아도 나름 빌런인데 애들 잘 놀아주농
수학에서 증명을 원한다면 좀 형식적인 작업을 거쳐야함 이게 딱딱하게 느껴질 수 있어도 좋은게 형식적으로 증명하기 위해 어떤 것의 정의를 내리고 하는게 머리속에 있는 붕뜬 생각들을 엄격하게 문장으로 정리하면서 생각이 보다 명료해져서 많은 도움이됨 그렇게 정의를 내리고 이걸 증명하기 위해서 필요한 전제들을 관찰하면서 증명하는거라고 생각 그런데 그 답이 처음 생각한 것 보다는 많이 협소해 질 수 있지만 보통 무언가를 증명했을 때 처음 머리속의 안개낀 생각들에서 느낀 뭔가 거대한게 있을 것 같다는 직관을 다 반영하지는 못해도 일단 그렇게 작은 증명을하고 이걸 일반화하면서 확장하면서 발전하는거라고 생각
병신같은 새끼네 자살 ㅊㅊ
왜 제가 병신이에요? 그리고 병신이 욕인가요? 자살은 나쁜건가요?
말씀하시는걸 보니 geodesic이나 1st fundamental form을 공부하시면 될 것 같네요 유클리드 공간과 달리 피타고라스의 정리가 살짝 변형돼서 나와요
병신
이 위로 다 병신한테 먹이주면서 시간낭비하는 병신들 ㅇㅇ
ㅋㅋㅋㅋㅋ 빌런추
dimer, 전 기학테 어서오고