무한급수는 극한값이 이거다라는걸규명해줄뿐
그 행위가 실제로 "어떻게 유한시간에 어떠한 과정으로 일어나는가"에
대한 관점을 명확히 해주기엔 무리가잇다는 궁금증에서나온거
순간이동 장치가 각각 장소 A
장소 B에 있음
여기에 파리가 장소A에 들어가고
1분후에 장소B로 이동됨
그리고
30초후에 B에서 A로 이동됨
15초후에 A에서 B로
7.5초후에 B에서 A로..
해서 장소A에 들어간순간으로부터
2분이지날때까지 순간이동이반복됨
이럼 정확히 2분이지났을때 파리는
장소 A 쟝소 B중 어디에 잇는것임?
파리는 무조건 모든시간선에서 어떤장소에 "존재"해야 함을 가정함.
순간이동시 시간소요는 0초임.
- dc official App
모르지. 2분 직전까지는 어딨는지 알 수 있는데 주어진 정보만으로는 2분 시점에서 파리 위치를 알 수 없음. 이건 물리학의 한계같은 문제가 아니라 그냥 글에서 제시한 정보가 부족한거임
논리적으로는 모순이없는데 ? 이게 과정이 어떻게 유한시간내에벌어지냐는 문제인거 - dc App
그 과정이 종결되는 때가 존재하질 않는데, 시간이 다 지나면 그 과정이더이상 안나타나니까. 유한과정에 대한 질문임 - dc App
아킬레스거북이역설에서도, 거북이를 따라잡는 시간이 직전까지도 존재하지않는데 결국시간이지나면 따라잡잖아. 유한과정에 대한 걸 무한급수만으로 설명할순없다느낌 그래서 - dc App
그 과정이 정확히 어떻게일어나는가. 에 대한건 주목을 못하는거같아서 - dc App
근데 이 예시는 순간이동장치라는 비현실적인 개념 자체에 문제가 있지않나? 파리 넣고 정확히 1분인 시점에 파리가 A에 있는건지 B에 있는건지 알 수 있나? 1분 0.0000001초엔 확실히 A에 있다고 말할 수 있음. 그런데 정확히 1분인 시점에 파리가 어떤 상태인지 정확하게 규명해줄 수 있음? 이건 순간이동장치 자체의 문제라고 생각하는데...
순간이동장치는 그저 현실에적용하기위해만든거임. 그냥 이론적 매개체로 생각해더문제될것은없지않나 - dc App
점의 좌표로 치환해서봐도되잖아 ㅇㅇ - dc App
1분후 A점으로가고 B점가고 이런식이면되지. - dc App
그래도 여전히 문제가 생기는게, 마치 부호함수에서 x가 0인경우 함수값이 정의되지 않았다고 했을때 생기는 그래프를 보는 느낌임. 0으로의 우극한과 좌극한이 다른 느낌인데 너는 0에서의 함수값을 요구하는 느낌임
아 그러니까 정확히 1분인 시점에 이동됐다고? ㅇㅋㅇㅋ
그래프로 생각해보면 비정의같은데? 가령 A위치를 실수축에 1과 동일시하고 B위치를 실수축에 -1과 동일시 해보자고. 그리고 시간 x축과 파리 위치 y축에 대한 그래프를 생각해보자 그러면 x가 2분인 시점에 정의할 수 없는 형태가 나옴. 즉, 가정 자체가 틀렸지. 어느 시간선에 어디든 존재해야한다는 가정이 잘못될수밖에 없음. 이런 가정이 나온 이유는
현실세계의 파리라는 무조건 존재해야하는 사물의 존재성에대해 0초만에 순간이동이라는 비현실적인 개념이 섞여서 나온 결과물같음. 갠적으론 ㅇㅇ
A에존재한다하든 b에존재한다하든 문제안되지않나?왜비정의될수밖에없음?연속성도없는데 - dc App
아 내가 말을 잘못 표현했네... ㅈㅅ 내 말은, 주어진 정보만으로는 2분째의 함수값을 정의할 수 없다는 뜻이였음. 왜냐면 주어진 정보는 오로지 2분 이전의 모든 x값에 대한 함수값의 정보잖아. 그런데 이걸로 2분째의 함수값을 정의하라니까 이상한거지
그니까 한마디로 f는 주어진 정보만으로는 [0,2)에서 정의됨
갑자기 생각난건데 한 예로, 아킬레우스같은 다른 역설들의 경우는 너가 굳이 존재성을 '가정'할 필요가 없이 그냥 존재한다는 점에 차이를 두고 보면 더 이해가 될듯. 내가 문제삼는 부분이 저 존재성을 가정하는 부분이니까 정확히 일맥상통하네
수학문제로 바꾸면 f:[0,2]ㅡ>{A,B}라는 함수가 있을 때 f(0)=A f(1/2)=B f(3/4)=A,... 일 때 f(2)는 무엇인지에 대한 문제로 바꿀 수 있음 이에 대한 답은 하나로 정해진게 아니지 말 그대로 알 수 없음 f(2)=A라 해도 되고 B라 해도 됨
이렇게바꾸면 이거에대해 확실히 납득은가긴하는데, 찝찝함은 남아잇네 . 흠 아킬레스가 거북이를 따라잡는 그 과정이 어떻게되는지가궁금해서생각한거라 - dc App
supertask
둘 위치 t에 대한 함수로 바꾸ㅜ서 그래프 보면 되자낭 그냥 그때 그때 적절한 수학 개념을 꺼내쓰면 되지 급수 자체가 본질은 물리적 세계와 무관하니까
위에 망령댓글보고 생각해봤는데, 이 문제를 수학적으로 표현하면 이렇게 될거같음. f:[0,2)->{-1,1}은 시간을 위치로 매핑 해주는 함수라 하고, 이함수는 다음과 같은 성질을 만족함. t가 순간이동을 하는 순간이면,(1,1.5 등등) 값이 직전시간에 -1을 곱한 값을 취함(순간이동을 했으니까). t가 순간이동을 하는 시간이 아니면, 직전 값을 그대로
가짐. 여기서 문제가 되는게 "직전 값"의 의미인데, 이 직전값은 [0,2)에서는 혼동없이 명확히 한 값으로 결정되는데 비해 t=2에서는 한가지 값으로 결정되지가 않음. t=2이전으로 아무리 작은 구간을 설정해도 무한히 많은 1과 -1이 반복되기 때문에. 그래서 위의 간단한 가정만으로는 f의 값을 2에서 유일하게 결정할수가 없는듯
[0,2)에서는 직전값을 하나러 결정할수 있다는 의미는 t이전으로 충분히 작은 구간을 잡으면 그 구간안에서는 f의 값이 하나만 나오게 할수 있다는 뜻. 재밋는 문제네 ㅋㅋㅋ
이게 흔히 하는 잘못된 생각인데, 무한급수는 수렴값이지 함수값이 아님. 아킬레스 문제에서 시간 t=0에서 수열값 0, 시간 t=1/2에서 수열값 1/2, ..., 시간 t (<1)에서 수열값 (1-0.5^t)/1-0.5 을 말해줄 뿐, 시간 t=1에서의 값은 말해주지 않음.
다만, 시간이 t=1에 무한히 가까워지면 수열값이 1에 무한히 가까워진다는 것일뿐. 여기서 "시간"이라는 개념이 들어와야 하는데, 시간은 특정한 속력으로 (1초에 1초.. 재귀 정의긴 한데, 그냥 넘어가자) 흘러감 (상대성 이론 이런건 제껴두고..). 그런데, 아킬레스 문제에서는 시간을 일정 속력으로 흘러가게 두는게 아니고, 시간 또한 등비급수로 흘러가게 두기 때문에 혼동이 생기는것임.
더 복잡하게 들어가지 말고, 주어진 글의 문제는 "어느 점이 sin(1/x) 함수를 따라가는데, x가 무한히 커지면 최종적으로 그 점은 [0,1] 중에 어디에 존재하나요?" 라고 물어보는 것과 같음. 결국 파리의 위치 (A 혹은 B)는 수렴하지 않음. 심지어 위 글은 "수렴하지 않는 수열에 대해 함수값"을 물어보고 있음. (비난하는게 아닙니다. 질문에 문제가 있다고 얘기하는중)
비슷한 예로, f(x)=0 if x=유리수, 1 if x=무리수, 그리고 x>0이라고 가정해봄. lim x->0 f(x)는 무엇임? 위와 정확하게 동일한 문제이고, 여기서는 f(x)가 x=0일때 정의되지 않으므로 1. f(x)의 x=0에서의 함수값은 존재하지 않고, 2. 위 함수 (수열)의 x=+0에서 극한값 (수렴값)은 존재하지 않음.
위에 sin(1/x)에서 x가 무한히 커짐이 아니라 x가 0에 무한히 가까워지면