아래 두 개의 질문 다, 확실하게 답이 나오는 종류의 질문이 아니라 의견을 묻는 질문임

그래서 질문 중 한 개라도 의견이 있으면 남겨주면 감사하겠음!!






1. 문제를 해결하다가 다음 질문을 해결해야 할 순간이 왔음.

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Q1. 어떤 함수 f가 [0,2]에서 미분가능하다고 하자. 이 때, f'(1)=0 이며, [0,2]-{1}에서는 f'(x)≠0라고 하자.

이 때, f(0)=f(2)=0 이고 f(1) > 0 일때, 1은 구간 [0,2]에서 f의 최댓값이 되는가?

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그런데 이 질문을 한 번에 딱 답을 낼 수 있는 방법이 있나?

그러니까 f'(1)=0만으로는 f가 1에서 극값을 갖는다고는 말을 못하기도 하고,

원래 이런 류의 문제는, 점 1의 왼쪽에서의 f'의 부호와 오른쪽에서의 f'의 부호를 살피는게 국룰인데

그런 류의 얘기를 하는 것도 아니고...

다들 어떻게 생각함?



아무튼 내 수준에서는 Q1을 해결하기 위한 새로운 문제을 떠올려야 했음.

위의 Q1의 질문을 해결하기 위해 새로 만든 문제는 이거임.


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Q2. 어떤 함수 f가 (0,2)에서 미분가능하다고 하자. 이 때, f'(1)=0 이며, (0,2)-{1}에서는 f'(x)≠0라고 하자.

그러면 f는 (0,1)과 (1,2)에서 각각 단조함수인가?

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개인적으로는 이거 Darboux 정리에 의해 참이라고 생각함. 거짓이라면, 구간 (0,1)에서 f'(x)의 부호가 다른 두 점이 존재함. 즉

구간 (0,1) 안의 두 점 a,b가 다음을 만족하여 존재함 : f'(a)>0 & f'(b)<0

따라서 a와 b 사이에 도함수의 중간값 성질에 의해 f'(c)=0인 c도 존재함. c는 구간 (0,1)에 존재하므로 이는 가정에 모순.


그런데 여전히 마음에 걸리는 점이 있음. 아래가 진짜 묻고싶은 질문임.

결국 저 Q1이 고등학교 수준, 그러니까 직관적인 정리들만 이용하여 참임을 밝힐 순 없겠지?


Q1의 경우는, 머릿속으로 대충 그렸을때는 성립해보여서 직관적인 정리들만으로 해결할 수 있을거라 기대했는데

다른 직관적인 정리 대신 저 중간값성질을 이용해야 한다는게 마음에 걸려서 그럼.

내가 생각 못한 그런 방법이 있을까?








2. 1번 질문 관련 부분을 공부하다가, 문득 고등학교 때 교과서는 어떻게 언급했는지 궁금해서 뒤져봤는데 아래와 같은 설명이 있었음.

아래 교과서 사진 빨간 밑줄부분을 봐주셈.

편의상 f'=g라고 놓겠음. 듣기로는 g'(x)의 부호에 따라 g의 증감이 결정되는 것은 오직 구간에서의 일이라고 알고있음.

그런데 저 위의 사진에서는 구간이 아니라 한 점 a에서의 g'(a)의 부호에 대해 말하고 있음.

그런데도 감소성을 따지는 것은 오류 아님?

가령, 이 부분에서 유명한 함수인 h(x) = x + 2x^2 sin(1/x) (if x≠0), h(0)=0 은, h'(0)>0 이지만 h를 포함하는 어떠한 0의 근방에서도 h가 증가함수가 아니잖음


교과서 다른 출판사들것도 찾아보니 거의 다 저렇게 써놨더라.

물론 결과론적으로는 저 문장이 맞지만 "f'(x)가 x=a를 포함하는 한 열린구간에서 감소"하기 위한 설명이 오직 f''(a)<0 때문인건 좀 그렇다고 봄.

아니면 내 의견에 오류가 있나? 싶기도 함.


그래서 이 부분

저렇게만 써 놓은건 오류다 vs 오류가 아니다

오류니까 수정해야한다 vs 오류여도 저 정도는 냅둬도 된다

어떻게 생각함?





위의 두 개의 질문 다, 확실하게 답이 나오는 종류의 질문이 아니라 의견을 묻는 질문임.

그래서 질문 중 한 개라도 의견이 있으면 남겨주면 감사하겠음!!