[일반] 정수론 질문입니다

[익명(118.235)]

모든 자연수n에 대해,

오직 n+1개의 정수점만을 갖는

n차 다항함수는 존재하지 않음을 증명하시오..

인데 접근을 못하겠네요..

"모든 n차 다항함수는

무수히 많은 정수점을 갖거나,

오직 0개,오직 1개,오직 2개,..,오직 n개의 정수점만을 갖는다"

를 증명하고싶은데..

- dc official App

[익명(121.88)]

정수점의 의미를 명확히..

[익명(118.235)]

(정수,정수) 좌표 - dc App

[익명(77.111)]

'유리수점=f(x)가 유리수가 되는 유리수 x' 라고 정의하자. 이제 다음의 명제 '임의의 n차 다항항수 f는 n개 이하의 유리수점을 갖거나, f(x)는 유리수 계수를 갖는 다항식이다'.를 증명하겠음.

[익명(77.111)]

n차 다항함수 f가 n+1개의 유리수점을 가진다고 가정하자. 이제 f가 유리수 계수를 갖는다는 사실을 보여야함. n=0인 경우, 즉 f가 상수함수인 경우에는 자명함. n이 1 이상인 경우, f를 적당히 유리수 좌표만큼 translate해서 f(0)=0이라고 가정할수 있음. 그렇다면 f(x)=xh(x)인 n-1차 다항함수 h(x)가 존재함. f는 0을 포함한 n+1개의 유리수점을 가지므로, f의 0이 아닌 n개의 유리수점을 b_1,b_2,..,b_n이라 하면, 임의의 i에 대해서 h(b_i)=f(b_i)/b_i를 만족하므로, b_1,..,b_n은 h 위에서 유리수점이 됨. h의 차수는 n-1이므로 귀납가정에 의해서 h는 유리수계수 다항식이 되고, 따라서 h의 정의로부터 f는 유리수계수 다항식이 됨.

[익명(77.111)]

이제 본 문제로 돌아가서, 만약 n차 다항함수 f가 n+1개의 정수점을 가지면, 위 명제에 의해서 f는 유리수계수 다항식이 됨. 정수점을 갖는 유리수계수 다항식이 무한히 많은 정수점을 가진다는 사실은 다음과 같이 쉽게 보일수 있음. 먼저 f를 정수좌표만큼 적당히 translate해서 f(0)=0이라고 가정할수 있고, f(x)=c_1x+...+c_nx^n으로 두고, 각 c_i는 유리수이므로 정수 p_i,q_i에 대해서 c_i=p_i/q_i로 둘때, L을 q_1,...,q_n의 최소공배수로 두면, 임의의 L의 배수 x에 대해서 f(x)가 정수점이 되므로, f는 무한히 많은 정수점을 가지게 됨.

[익명(125.177)]

와. 비슷한걸 풀어본적 있는 거임? 유리계수부터 올라가는건 생각도 못햇네

[익명(77.111)]

처음에 n차 다항함수가 n+1개의 정수점을 가지면 정수계수를 갖는다는 명제를 증명하려고 하다가, f(x)=x(x+1)/2 같은 반례가 떠오름. 본문의 명제는 그냥 상수함수에서 자명하게 성립하니, 수학적 귀납법을 이용해서 차수를 계속 낮출수만 있다면 언젠가는 상수함수에 도달하니 좋겠다는 생각이 들었음. 그래서 f를 더 낮은 차수의 다항식 h로 변형할 필요가 있었는데, 여기서 h가 f와 마찬가지로 여러개의 정수점을 가지기 위해선 h가 어떤 모양이어야 할지를 생각헀음. 근데 h가 여러개의 유리수점을 가지게 만들수는 있어도 여러개의 정수점을 갖게 만들게끔 변형하는건 어렵더라. 그래서 유리수점에 대한 명제를 증명하는걸로 선회함. 그걸로도 본문의 명제를 증명하는건 가능하니까.

[익명(106.251)]

너 좀 치네 올림피아드 입상 성적있냐?

[익명(77.111)]

고3 때 kmo 도전했다가 예선 광탈함. 경시대회 입상실적 0임. 일반고 교내 수학경시대회도 광탈함. 경시대회 문제들이 비교불가능할 정도로 더 어려우면 어렵지. 여러개의 lemma로 쪼개서 문제를 해결하는것도 아니고 작은 하나의 쉬운 lemma로 문제가 뚝딱 해결되는데

[익명(yoyo5809)]

걍 니가 존나 잘 하는 것 같은데