상황은 f: R^2 -> R 인 함수 f(x,y)와 미분에 관해 질문드리려합니다.

질문1) "x로 편미분하고 (a,b)를 대입한 값"과 "y=b를 f에 대입한 후 x로 미분하고 x=a를 대입한 값"이 같나요?

제 생각1) 편미분이 특정방향으로 함수를 restriction시키고 변화율을 보는 느낌이라서 같을 것 같습니다. 다만 이를 증명하는 법은 모르겠네요.


질문2) 점 (a,b)에서 모든 방향으로 direction derivative가 존재하면 (a,b)에서 미분 가능 한가요?

질문3) 점 (a,b)에서의 f(x,y)의 선형근사를 L(x,y)라 하면, L(x,y)는 (a,b)에서 임의의 방향으로 구한 선형근사(직선)를 포함하나요?

제 생각2) 전부 맞을 것 같습니다.
우선 f가 점 (a,b)에서 미분가능하다는 것은 (a,b)에서 선형근사(평면)가 존재함으로 이해했습니다.
그리고 방향도함수(directional derivative)는 특정 방향에서의 미분이므로 이 또한 특정 방향에서의 선형근사(직선)를 구하는 것으로 볼 수 있지 않습니까? 그래서 이 직선을 전부모으면 평면이 되지 않을까 생각합니다. 

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