일단 x^6 + 3 의 경우 splitting field K 에 대해 Aut(K/Q) = [K:Q] = 6이고

Galois extension이 아닌 Q( 3^(1/3) ) 이 존재함. order 6 & non-abelian = > S_3.


일단 여기서 첫 번째 질문.

S_3라는건 3가지의 원소를 바꾼다는건데. x^6 + 3 의 경우 근이 6개임.

만약 루트2, 루트3을 가지는 Field처럼, 서로의 minimal polynomial이 다른 원소는 Galois Group의 원소가 각 원소들을 바꿀 수 없는게 가능한데.

내 생각에 x^6 + 3의 경우 모든 근들이 Q위에서 minimal polynomial로 x^6 + 3을 가짐.

그러면 6개의 원소들이 모두 서로서로 바뀔 수가 있다는건데. 왜 S_3일까?

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내 생각은, 그러면 2개의 원소들끼리 짝을 이뤄서 ( 원점에 대칭인 것들끼리 한 쌍 ) 으로 생각하면 3개로 생각 가능하고 그거에 대해서 60도 회전, 120도 회전, 혹은 각 쌍들을 이어주는 직선에 대해 대칭이동. 같은 식으로 생각하면 근들의 이동이 정확히 S_3와 같음.


내가 배움이 모자라서 이 부분이 좀 이상하게 느껴짐. 짝을 이루는 원소 2개를 짝 1 = { A, B } 라고 할 때, 얘네들도 minimal Polynomial이 같으니까 A - > B , B - A 로 바꿔주는 Gal(K/Q)의 원소가 존재해야하지않나? 라는 생각이 들었는데. 만약 한 쌍을 같다 생각하면 그냥 identity가 그 역할을 하는건가?


그리고 저렇게 짝을 이뤄야 한다면 그 짝을 정해주는 과정이 내가 생각한게 맞는지.

왜 그렇게 짝을 지어줘야 하는지도 잘 모르겠다..

결국 내 생각의 과정은 S_3라는 결론을 알고 있는 상태에서 갈루아군이 원소들을 저렇게 바꾸겠구나 하고 끼워맞춘 느낌인데.

이 부분에 대한 생각을 좀 보충해줬으면 정말 감사할 것 같아 ㅜㅜ


------------------------------------------------여기까지 x^6 +3 이었고


x^6 - 3 의 경우는 해봤더니 Aut[K/Q] = 12가 나옴.

그리고 일단 근 6개를 지름 3^(1/6) 인 원 위에다가 표시함.

이 경우는 원점 기준 60*n 도 만큼 회전하는 회전변환을 r이라하면

r^6 = 1.이고

원점을 지나는 직선들에 대한 대칭으로 근들을 이동시킨다고 하면

s^2 = (sr)^2 = ...( sr^5)^2 = 1처럼 생각되어서

D_12와 같다고 생각이 됨.

근데 이 부분을 정하는 과정에서도 솔직히 왜 그렇게만 바뀌어야 하는지 헷갈리고


뭔 책에 분명히 있긴 할텐데, 문제 풀다가 헷갈리는 부분에 대한 답은 아니까( 어떤게 Galois group 인지 )


내가 결론 내린건


일단 저 위에꺼 둘 다 근은 6개임

즉 갈루아군은 S_6의 부분군

각 근들의 이동은 좌표평면 위에서의 (원점에 대한 회전변환) 혹은 (원점을 지나는 직선에 대한 대칭이동)으로만 변할 수 있음

이러한 근이 이동에 대한 원칙을 지키면서 거기서 어떻게 짝을 지어주고 어떤 변화가 일어날지에 대해서는 Automorphism등을 이용해 Galois Group을 구해야 정확히 알 수 있다. 이렇게 생각하면 되려나..


길게 안쓰려 했는데, 실력이 없으니 주절주절 말만 많아진다...