[대학교이상] 푸리에 급수 계수 문제 질문드려요ㅜㅜ

[익명(182.216)]

1. x(t) = cos(w0t)

2. x(t) = sin(w0t)

3. x(t) = cos(2t + pi/4)

4. x(t) = sin^2(w0t)

이거 푸리에 계수 어떻게 구하죠ㅜㅜㅜ 공식에 무작정 대입하려니까 적분도 잘 안되고...말로만 설명해주셔도 좋으니 알려주새요

[익명(121.88)]

공식에 무작정 대입하는거 말곤 방법이 없어요 복잡한 적분은 대학미적분학 다시 읽어보세요

[익명(121.130)]

일단 푸리에 '변환'이 아니고 푸리에 '계수'인거죠? 문제들 마다 주기가 다르니까 1,2는 주기 2π/ω0, 3은 주기 π, 4는 주기가 π/ω0인데 각각 이들 주기에 대한 푸리에 '계수'로 볼게요 그럼 정의에 의해 주기 L인 함수 f의 n번째 푸리에 '계수'는 f^[n]:=∫f(t)e^(-2πint/L)dt 이 됩니다

[익명(121.130)]

적분범위는 0에서 L까지 하셔도되고 -L/2서 L/2까지 하셔도돼요 이건 사실 함수공간에서 e^(-2πint/L)이란 함수랑 내적한거구요 cosωx=(e^iωx+e^(-iωx))/2 sinωx=(e^iωx-e^(-iωx))/2i sin^2(ωx) =(1+cos2ωx)/2=(2+e^2iωx+e^(-2iωx))/4 쓰시면 다 지수함수에 상수배한거 적분해서 더

[익명(121.130)]

짤렸네;; 더한게 되구요 이걸로 1,2,4번은 해결될거에요 3번의 경우 먼저 2t+π/4=2θ로 치환하시면 e^(-2πint/L)이 e^(-2πin(θ-(π/8))/L)로 (이 문제의 경우 L은 π임) 바뀔거에요 그리고 나서 e^(inπ^2/4L)는 상수니까 앞으로 빼고 다시 위의 방법으로 지수함수 상수배 적분해서 더한거 얻으면 됩니다

[익명(121.130)]

Kreyszig 같은 공수책은 푸리에 계수 쓸 때 cos(2nπt/L) 앞의 계수 a_n랑 sin(2nπt/L) 계수 b_n따로 정의해서 주기 L인 주기함수를 f(t)=a0+Σa_ncos(2nπt/L)+b_nsin(2nπt/L) (n은 1서 무한대까지)로 쓰기도 하는데 이 경우 f(t)=Σf^[n]e^(2πint/L) (n은 -무한대서 무한대까지) 랑

[익명(182.216)]

헐 섬세한 답변 감사드려요 혹시 푸리에 변환도 쓰신거인가요??

[익명(182.216)]

중간에 잘린거 같네요

[익명(182.216)]

f^[n]:=∫f(t)e^(-2πint/L)dt 이 식에 대입하면 되는 건가요 L을 주기로 보고요??

[익명(121.130)]

같은 말이구요 그래서 오일러공식과 함께 계수 비교하면 Σf^[n]e^(2πint/L), n은 -무한대서 무한대까지 =f^[0]+Σ(f^[n]e^(2πint/L)+f^[-n]e^(2πi(-n)t)) , n은 1부터 무한대까지 가 되고 다시 e^(2πi(±n)t/L)를 cos(2πnt/L)±isin(2πnt/L)로 바꿔쓰면

[익명(182.216)]

https://open.kakao.com/o/srdebRyd

[익명(121.130)]

f(t)=f^[0] +Σ{(f^[n]+f^[-n])cos(2πnt/L) +i(f^[n]-f^[-n])sin(2πnt/L)} 이 됩니다. 즉 a0=f^[0]고 a_n=f^[n]+f^[-n] b_n=i(f^[n]-f^[-n]) 이에요 이걸로 표현 왔다 갔다 할 수 있어요

[익명(182.216)]

죄송한데 이 오픈 채팅방에 와주실수 있나요 쓰기 불편하실거 같아서요

[익명(121.130)]

네 L을 주기로 보고 각 경우를 대입하면 됩니다 (주기 서로 다름) 푸리에 변환은 안 썼죠 저 4개 함수는 푸리에변환시 디락델타함수 적당히 상수배랑 평행이동해서 더한게 됩니다 보통 신호처리할 때 써요 sin^2같은애도 sin함수 1개랑 평행이동한 함수 1개 각각 다이오드(반파정류회로)거치게 해서 opamp 덧셈기 같은데 통과시키면 구현가능하구요(반각써도됨)

[익명(121.130)]

아 이미 다 썼는데;; ㅋㅋㅋㅋㅋ 한 번 천천히 댓글 보며 따라가보세요 밖이라 계산은 암산으로 못하겠네요 나이를 먹어서 ㅠ

[익명(182.216)]

대입하면 인테그랄 삼각함수x지수함수 꼴이 나올텐데 이게 맞는건가요??

[익명(182.216)]

아뇨 감사드려요!! 천천히 이해해보고 덕분에 수학 천재가 되겟습니다! 저희 교수님보다 친절하셔요

[익명(121.130)]

예 대입하실 때 그 삼각함수 댓글보시면 아시겠지만 다시 지수함수들 가지고 바꿔쓸 수 있어요(cosωx, sinωx, sin^2ωx 써둠) 1번:a0=0, a_1=1, a_n=0(n은 2 이상 자연수) b_n=0(n은 1 이상 자연수) 2번:b_1=1, b_n=0(n은 2이상 자연수) a0=0, a_n=0(n은 1이상 자연수)

[익명(121.130)]

3번은 삼각함수 덧셈정리로 (cos(2t)/sqrt2)-(sin(2t)/sqrt2)로 볼 수 있으니 a0=0, a_1=(1/sqrt2), b_1=(-1/sqrt2) a_n=b_n=0(n은 2 이상 자연수) 4번은 sin^2(ω0t)=(1/2)+(cos(2ω0t)/2)에서 a0=(1/2), a_1=(1/2), a_n=0(n은 2이상 자연수) b_n=0 나와요

[익명(121.130)]

f^[n]꼴로 답 써야하면 지금 말씀드린 a0, a_n, b_n으로 a0=f^[0] a_n=f^[n]+f^[-n] b_n=i(f^[n]-f^[-n]) 에 대입하면 돼요

[익명(182.216)]

덕분에 1 번 살짝 풀어봤는데요.... fn =인테그랄 0에서 2π/w0 까지 ((e^iωt+e^(-iωx))/2)x e^(-2πint/(2π/w0)) dt 이 꼴이 나와서 적분하면 이상한 꼴이 나오는데 뭐가 잘못 된걸까요

[익명(121.130)]

아 죄송해요 맨 처음부분에 오타가;;; f^[n]:=(1/L)×∫f(t)e^(-2πint/L)dt 이에요 L로 나눠야돼요!!

[익명(182.216)]

어...그래도..((e^iωt+e^(-iωx))/2)x e^(-2πint/(2π/w0)) 이거 전개하는 과정에서 nㄷ

[익명(182.216)]

n땜에 깔끔하게 안떨어지지 않나요?

[익명(121.130)]

1번 푸시는거 지금 앞에 ω부분을 w0로 바꾸셔야하구요 (cosw0t니까), 오른쪽 지수함수 보면 2π약분되고 w0가 분자로 가니까 왼쪽 지수함수랑 비슷하게 생긴게 돼요

[익명(182.216)]

네 그럼 (e^iω0t+e^(-iω0x))/2)x(e^-iw0nt) 이꼴인데 n이 상수 취급해서 곱해서 적분하면 깔끔하게 안떨어져서요....

[익명(182.216)]

혹시 n=1,n=0 일때 이렇게 나눠서 대입하는 건가요?

[익명(121.130)]

그럼 준 식(적분은 0에서 L=2π/w0까지) =∫(w0/4π)(e^(iw0(n-1))t+e^(-iw0(n+1)t)dt =(w0/4π)[(e^(iw0(n-1)t)/(iw0(n-1)) -e^(-iw0(n+1)t)/(iw0(n+1))] 이 나와서 n이 1일 때, -1일 때 빼고는 0 나오는걸 알 수 있어요 n이 1일 때랑 -1일 때는 먼저 대입해서 적분해야돼요

[익명(121.130)]

말씀하신대로 n상수취급해서 곱해서 적분하면 바로 윗댓글에 쓴 적분이 되고, 얻은 원시함수에 2π/w0랑 0 대입해서 빼면 0나올거에요 (n이 1과 -1인 경우 빼고는)

[익명(182.216)]

아! (1/L)∫(e^iω0t+e^(-iω0x))/2)x(e^-iw0nt)dt 이 꼴에다가 1이랑 -1 n에다 먼저 대입하고 적분한다고 이해하면 될까요?!!

[익명(121.130)]

n이 1일 때 -1일 때 계산해보면 f^[1]=f^[-1]=1/2나오네요 그래서 위쪽에 쓴 1번 답 대로 a1=1/2+1/2=1이고 a0=0, a_n=0(n은 2이상 자연수), b_n=0(n은 1이상 자연수)나오구요

[익명(182.216)]

이게 적분 과정인건가요...혹시 4π는 어디서 나온건가요...

[익명(182.216)]

4파이 이해했습니다! 앞에 거를 뒤로 가져왔군요

[익명(121.130)]

우선 n을 일반 정수로보시고 지저분하지만 지수법칙 쓰셔서 (저거 앞부분 ω0대신 w0쓰셔야돼요 제 설명에 있던 ω는 1번 w0, 2번 w0, 3번 2, 4번 w0에요) ∫(w0/4π){e^(iw0(n-1)t)+e^(-iw0(n+1)t)}dt 나올거에요 i는 허수 루트(-1)말하는거고 저기보시면 t에 대한 함수고 iw0(n±1)은 다 상수에요

[익명(121.130)]

근데 적분해보시면 아시겠지만 임의의 n에 대해 값이 0 나올텐데 (오일러공식 e^iθ=cosθ+isinθ 이용) 분모 0되게 만드는 n값인 1과 -1은 애초에 적분시작할 때 상수였던걸 지수함수로 간주해서 생긴문제라 대입하고 적분해서 값 1/2을 얻죠 (1) 일반 n에 대해 계산 (2) 분모 0만드는 n값 같은것들 추리고 얘넨 따로 먼저 대입한 뒤 적분계산

[익명(182.216)]

저 1번 n=1일때 대입 했는데 적분 안에 식만 보면 (w0/4π) (1+e^(-2iw0t)) 이렇게 되는 거 아닌가요....0에서 2π/wo 까지 적분하면 1/2가 안나오던데... 죄송합니다

[익명(121.130)]

네 그거 맞아요 상수 1 적분한 부분은 (w0/4π)[t]=(w0/4π)((2π/w0)-0)=1/2 나오고 그 옆인 e^(-2iw0t) 적분한 부분은 (w0/4π)[e^(-2iw0t)/(-2iw0)] =(w0/4π)(1/(-2iw0))[e^(-2iw0t)] (1/(-8πi))(e^(-2iw0(2π/w0))-e^0) =(i/8π)(e^(-4iπ)-1)=0

[익명(121.130)]

맞게 계산돼요 오일러공식 e^iθ=cosθ+isinθ랑 여기서 변형한 e^(-iθ)=cosθ-isinθ 이걸 연립해서 얻는 cosθ=(e^iθ+e^(-iθ))/2 sinθ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/2i 는 자주 쓰게 되니깐 꼭 기억하셔야돼요 그래서 저기 마지막줄에 e^(-4πi)=cos(4π)-isin(4π)=1-0=1인거죠

[익명(182.216)]

헉 감사합니다 제가 오늘 귀인을 만났네요!