산술기하평균부등식을 증명할때
사용되는 수학적귀납법은
k일때 성립가정 =>k+1일때도 성립을
직접적으로 못보여줘서
특이한테크닉으로 우회해서 증명하잖아
k일때성립가정=>k+1일때도 성립을 직접적으로 보일수있음?
잡기술없이
a1+a2+..+a_k>=k(a1a2..a_k)^(1/k)
이면
a1+a2+...+a_k+a_(k+1)>=(k+1)(a1a2..a_ka_(k+1)^(1/(k+1)
바로보일수잇냐는거
현재까지알려진방법은 없다고하는데
"불가능"해서 없는거임? 저런식으로밖에만증명못한다.는걸
증명할수잇나궁금함
우회해서 보인거도 결국 k일때성립시k+1도성립을 보인거아니냐고하면 할말없지만 표현을 어떻게해야될지모르겟어서 이렇게질문함. 서로그래도 다른거라생각해서
이런 증명방식에대해서 뭐연구하는분야도잇나
- dc official App
할 수 있음
방법이아무리찾아도안나오는데 어떻게함? - dc App
수학적 귀납법 안써도 어렵지 않게 증명가능하다. 양수 x_1,..,x_k에 대해서 (x_1+...+x_k)/k가 (x_1 x_2... x_k)^{1/k} 이상임을 보이면 되는데, 적당히 x_1,..,x_k 전체에 상수배를 취해서 x_1+...+x_k=k라고 가정해도 무방하다. 그렇다면 x_1x_2..x_k가 1 이하라는걸 보이면 충분함. e^{x-1}이 x 이상이라는 사실을 이용해서, x에 x_1,..,x_k를 대입해서 곱하면 e^{x_1-1} * e^{x_2-1} * ... * e^{x_k-1}이 x_1x_2...x_k 이상이 되는데, 좌변은 e^{x_1+...+x_k-k}=1이기 때문에 증명이 끝난다.
이렇게 몇줄안에 증명을 쉽게 뚝딱 끝낼수 있는데 전문 수학자들이 이런걸 깊게 생각할리가.