위수가 9인군 G에서 {a^5|aㅌG}=G 이다.
또한 |G|=m에 대해 {a^n|aㅌG}=G (gcd(m,n)=1)가 참인지 밝히시오.
라는문제인데 이거 어떻게 보여야 될까?
보통 {a^m|aㅌG}꼴의 집합은 군G의 부분군인지도 모르겠네...
순환군이 아니라 유한군이라서 모르겠네...
또한 |G|=m에 대해 {a^n|aㅌG}=G (gcd(m,n)=1)가 참인지 밝히시오.
라는문제인데 이거 어떻게 보여야 될까?
보통 {a^m|aㅌG}꼴의 집합은 군G의 부분군인지도 모르겠네...
순환군이 아니라 유한군이라서 모르겠네...
a를 a^5 로 보내는 함수가 injective임을 보이기만 해도 됨
phi:G->G by a|->a^5에 대해 위수가 9인 군은 abelian이므로 phi는 homomorphism이 되고, phi(a)=1이면 a^5=1, 따라서 G는 order 5 subgroup갖지않으므로 ker(phi)={1} 따라서 isomorphism 따라서 Im(phi)=G - dc App
아 그러네... 굳이 전사성을 찾을필요 없이 ker이 항등원만을 가지니까, 동형정리에 의해 im의 위수가 9가되네.
임용 생이니? - dc App
힌트) 잉여역수, 코시의 정리
a^5=b^5면 a=a^10=b^10=b