[대학교이상] 대수문제.. 이거대체 어케해야됨..

[익명(223.62)]

D가 S로 generate된 subgroup과 같을지를 물어보는건데.. 느낌상 같을것같은데 전혀 보일 방법을 모르겠음

N이 S를 포함하는 가장 작은 normal subgroup이라 했을때 G -> G/N 인 projection map과 trivial map을 비교하는걸로 D <= N인건 보일 수 있는데 그다음을 모르겠다... 도와줘 ㅠ

- dc official App

[익명(221.160)]

S는 그냥 subgroup이라 해도 상관없지. 이제 G에서 (G) *S (G)로 가는 자연스러운 맵을 두개 생각해 (첫번째로 보내는거 하나, 두번째로 보내는거 하나) 그럼 두개는 정확히 S에서만 같겠지?

[익명(221.160)]

참고로 (G) *S (G)는 G*G에서 양쪽의 S를 identify한거야, G에서 G*G로 가는 자연스러운 두 맵을 f, g라고 하면 f(s)g(s)^-1 (s in S)로 생성되는 normal subgroup으로 잘라준거임

[익명(119.194)]

G*G가 free product를 얘기하는거임? - dc App

[익명(221.160)]

ㅇㅇ

[익명(39.7)]

근데 두개의 맵이 정확히 S에서만 같다는건 어떻게 보일수 있어? 결국엔 f(d)g(d)^-1 이 그 normal subgroup에 들어간다는건데 이것만가지고 d가 S에 들어간다는게 보장이됨? - dc App

[익명(221.160)]

저게 G*G에서 S만 identify하는 거라고 생각하는 직관이 있으면 당연한거고 (normal subgroup을 generate하는 과정에서 이와 상관없는 relation이 발생할 수가 없음) 굳이 constructive하게 증명을 해주고 싶으면 원소 표기를 하나하나 직접 해줘서 (fG와 gG의 원소가 번갈아가면서 반복되는...) 확인하면 되는데 그렇게 어렵진 않음 free product의 존재성이 직관적으로 당연하지만 써주기에는 살짝 귀찮은거랑 같은 이치임

[익명(27.179)]

ㅇㅎ.. 넘 고마움 땡스ㅠ - dc App

[익명(221.160)]

만약 free product에 익숙하지 않고 원소 하나하나를 체크하는게 복잡하다면 아예 처음부터 S를 identify하는 notation을 만들어서, 즉 fG/fS (left coset space)의 원소와 gG의 원소가 번갈아가면서 반복되는 원소들로 group을 정의해서 이게 (G) *S (G)의 universal property를 만족한다는걸 보이면 G*G에서 S만 identify한다는게 무슨 의미인지가 더 명확해지겠지 ㅇㅇ 생각해보니 이게 더 쉬울 것도 같아서