망골트근사식의 증명부터 살펴보자. 다음 식에서 시작한다.


\displaystyle\zeta\left(s\right)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}ζ(s)=p∏(1−ps1)−1
양변을 로그를 취하고 미분하면 다음이 나온다.


\displaystyle -\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\Lambda\left(n\right)n^{-s}−ζ(s)ζ′(s)=n=1∑∞Λ(n)n−s
여기서 \Lambda\left(n\right)Λ(n)은 nn이 소수 pp의 거듭제곱일 때만 \log plogp의 값을 가지는 함수이다. 이제 다음과 같은 적분을 이용하자.

\text{For }\sigma_0>0,\ \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty}\frac{y^s}{s}ds=\begin{cases}1&y>1\\1/2\quad\text{if}&y=1\\0&0<y<1\end{cases}For σ0>0, 2πi1∫σ0−i∞σ0+i∞sysds=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧11/2if0y>1y=10<y<1
\displaystyle\sum_{m\le x}\Lambda\left(m\right)=\psi\left(x\right)m≤x∑Λ(m)=ψ(x)이므로, \displaystyle -\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\Lambda\left(n\right)n^{-s}−ζ(s)ζ′(s)=n=1∑∞Λ(n)n−s의 양변에 \displaystyle\frac{x^s}{s}sxs를 곱하고 적분하면


\displaystyle\psi_0\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty}\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}\frac{x^s}{s}ψ0(x)=−2πi1∫σ0−i∞σ0+i∞ζ(s)ζ′(s)sxs
가 나오며, 제한된 크기를 가지고 있는 오차항 RR에 대해


\displaystyle\psi_0\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-iT}^{\sigma_0+iT}\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}\frac{x^s}{s}+R\left(x,T,\sigma_0\right)ψ0(x)=−2πi1∫σ0−iTσ0+iTζ(s)ζ′(s)sxs+R(x,T,σ0)
로 쓸 수 있다. 이제 \displaystyle\sigma_0=1+\frac{1}{\log x}σ0=1+logx1라 놓고, 홀수 자연수 KK에 대해 적분구간을 다음과 같이 바꾼다.


\displaystyle\int_{\sigma_0-iT}^{\sigma_0+iT}=\int_{C}-\int_{\sigma_0-iT}^{K-iT}-\int_{K-iT}^{K+iT}-\int_{K+iT}^{\sigma_0+iT}∫σ0−iTσ0+iT=∫C−∫σ0−iTK−iT−∫K−iTK+iT−∫K+iTσ0+iT
여기서 CC는 \sigma_0-iT,\sigma_0+iT,K-iT,K+iTσ0−iT,σ0+iT,K−iT,K+iT를 꼭짓점으로 가지는 사각형이다. 이제 CC에 대한 적분 유수정리를 이용하여 계산하고, 나머지 적분과 오차항이 얼마나 큰지 분석하고, K,TK,T를 모두 무한대로 보내면 망골트 근사식이 증명된다. 이제 제타 함수의 비자명근의 실수부가 11보다 작음을 증명하자. 00과 11 사이인 것부터 보이자. 제타 함수에 로그를 씌우면 다음과 같음을 보일 수 있다.


\displaystyle\zeta\left(s\right)=\exp\left(\sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mp^{ms}}\right)=\exp\left(\sum_p\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{-imt\log p}}{mp^{m\sigma}}\right)ζ(s)=exp(p∑m=1∑∞mpms1)=exp(p∑m=1∑∞mpmσe−imtlogp)
여기서 \sigmaσ는 ss의 실수부분이며, tt는 허수부분이다. 이를 통해 다음을 보일 수 있다.


\displaystyle\left|\zeta\left(s\right)\right|=\exp\left(\sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos\left(mt\log p\right)}{mp^{m\sigma}}\right)∣ζ(s)∣=exp(p∑m=1∑∞mpmσcos(mtlogp))
이것을 \sigma,\sigma+it,\sigma+2itσ,σ+it,σ+2it에 대해 적용하면 다음 식을 얻는다.