소수 계량 함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식(영어: von Mangoldt explicit formula)을 따른다.[1] 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

{\displaystyle \pi (x)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle \mu (n)/n\{Li({\sqrt[{n}]{x}})-\sum _{\rho }Ei(\rho \ln(x)/n)-ln(2)+\textstyle \int _{\sqrt[{n}]{x}}^{\infty }\displaystyle dt/t/(t^{2}-1)/ln(t)\}}{\displaystyle \pi (x)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle \mu (n)/n\{Li({\sqrt[{n}]{x}})-\sum _{\rho }Ei(\rho \ln(x)/n)-ln(2)+\textstyle \int _{\sqrt[{n}]{x}}^{\infty }\displaystyle dt/t/(t^{2}-1)/ln(t)\}}

이는 베른하르트 리만이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다.

폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다:

{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho \in S}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}\psi (x)=x-\sum _{{\rho \in S}}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac 12}\ln(1-x^{{-2}})

여기서

  • {\displaystyle S}S는 리만 제타 함수의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.
{\displaystyle S=\{\rho \in \mathbb {C} \colon \zeta (\rho )=0,\;0<\operatorname {Re} \rho <1\}}S=\{\rho \in {\mathbb C}\colon \zeta (\rho )=0,\;0<\operatorname {Re}\rho <1\}
  • 합 {\displaystyle \sum _{\rho \in S}}\sum _{{\rho \in S}}는 절대수렴하지 않는다. 이 경우 합은 {\displaystyle |\operatorname {Im} \rho |}|\operatorname {Im}\rho |의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
  • 위 공식은 x가 특정한 정수가 아니면서 1보다 큰 실수인 경우에 유효하다. 만약 {\displaystyle x}x가 특정한 정수 (상단의 공식의 경우 소수, 하단의 공식의 경우 소수 및 소수의 자연수 거듭제곱)인 경우, 해당 점에서의 좌변의 좌극한과 우극한의 평균값이 우변과 같게 된다.
  • 상단의 공식의 경우, 맨 앞의 (n을 수열의 index로 하는) 시그마 부호에서 n은 무한대까지 더할 필요 없고 x의 n제곱근이 2보다 작아지기 직전까지만 더하면 된다.