답을 찾긴했다.. 하 근데 경우의수를 슈바 엄청많이 쪼개고 그림이랑 같이봐야하는 증명이라 아름답지는않다.


I를 무한구간이라고 가정해서 a,b∈I (단 a<b)를 고정시킨다.


f가 단사이므로 


1. f(a)<f(b) 거나 2. f(a) > f(b)가 된다. 1만 증명하면 g=-f로 두고 다시 1을 적용시킬수있다.


||1 의 증명||


우선 임의의 t∈I에 대해서 

1. t<a이면 f(t)<f(a)

2. t=a이면 f(t)=f(a)

3. a<t<b이면 f(a)<f(t)<f(b)

4. t=b이면 f(t)=f(b)

5. t>b이면 f(t)>f(b)


라는것을 그림그려보고 중간값정리로 해석해보면 알수있다.



이제 임의의 x∈I에 대해서 x<y인 임의의 y∈I 가정하자.

각 x의 가능성 5가지에 대해서 y의 가능성을 고려하면 된다. (x<y이므로 갈수록 가능성이 줄어듬)

그러면 x 모든경우에 대한 y의 모든경우에서 f(x)<f(y)임을 알수있다.


즉 요약하면 임의의 x,y∈I(x<y)에 대해서 f(x)<f(y)이므로 f는 순증가라는 사실을 알수있다.



||2의 증명||

g=-f라고 하면 g는 I에서 연속이고 단사함수이다. 이때 g(a)<g(b)이므로 1에의해 g는 순증가함수이다.


임의의 x,y∈I(x<y)에 대해서 g(x)<g(y). 즉 f(x)>f(y) 이므로 f는 순감소함수가 된다.



1과 2의 증명에 의해서 f:I->R 이 단사이고 연속이면 순증가 또는 순감소임을 밝혔다.



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이게 내가 한 증명인데.. 가끔씩 질문할만한내용이고 도움이 될까싶어 메모겸해서 올려봄.


어떤 수갤러분이 연결집합을 이용하면 훨씬 간명하게 증명할수있다고 했는데


실수위상에대해서는 배웠어도 연결집합에 대해서는 배우지않아서 일단 이렇게 증명을하고


나중에 위상수학배우면 좀더 멋있게 증명되기를 바람..