랭대수 챕터1 52번 (a) 푸는 중임.
abelian category에서 (X+Y)/W가 pushout임을 보이는 문제임.
근데 pushout의 정의가
(1) 위 첫 번째 diagram을 commutative하게 만들고
(2) 두 번째 diagram을 commutative하게 만드는 u가 unique해야 하잖아.
일단 P는 (X+Y)/W로 주어졌고, 이에 따라 i_1(x) = (x,0)+W, i_2(y) = (0,y)+W이고, (1)은 쉽게 보여짐.
근데 (2)에서 ????를 느끼고 있음.
diagram에 나오는 모든 homomorphism이 surjection이라는 조건이 없는 이상 u가 unique할 수가 있나?
극단적으로 f, g, j_1, j_2가 다 trivial homomorphism이라서 치역이 {0}이고 P와 Q는 {0}이 아니면 u는 어떻게 생겨먹든 diagram이 commutative하잖아?
돌겠네 ㄹㅇ
pushout은 P만 얘기하는게 아니라 i1, i2도 같이 얘기하는거임 그리고 P, i1, i2 모두 X, Y, Z 그리고 f와 g에 의존함 - dc App
첫짤을 잘보셈 f와 g가 달라지면 X+Y/W도 당연히 달라지죠 - dc App
만약 f, g가 전부 trivial homo라면 X+Y/W는 X+Y와 같고, i1과 i2는 canonical injection이 될거심 그리고 j1과 j2가 trivial homo가 되면 이 경우 u 또한 trivial 이어야만 하겠지 - dc App
아차 예를 완죤 잘못 들었네. 그런데 i_1은 x를 (x,0)+W로 보내잖아. 그럼 u는 이걸 j_1(x)로 보내야 할 거고. (x,0)+W 꼴로 나타내어지는 P의 원소들에 대해서는 u의 값이 이렇게 유일하게 정의되는데, 내가 의문인 건 그렇게 나타내지지 않는 (x,y)+W에 대해서는 u((x,y)+W)의 값이 결정되지 않는 거 같다는 거임. 그래서 유일성을 어떻게 보일지 몰게씀.
아 u((x,y)+W) = u((x,0)+W + (0,y)+W = j_1(x) + j_2(y) 였지 ㅋㅋㅋㅋㅋ 엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 여튼 답변 ㄳ
그럼 유일성을 보이는거는 만약에 v:X+Y/W -> Q 인 homomorphism이 저 diagram을 commutative하게 만든다면 어떻게 정의되어야만 하는지를 생각해보셈 - dc App
ㅇㅇ 해결됨 ㄳㄳ