수학적 소양이 약간이라도 있는 일반인을 위한 설명.

근의 공식이라 함은 거듭제곱근, 즉 루트가 들어 있는 공식을 말함. 이런 공식이 없다는 것. 왜?

이차방정식의 예에서도 확인할 수 있듯이, 근과 계수의 관계 때문에, 루트 부분은 근들을 적당히 잘 묶어 표현할 수 있지.
결국 루트가 있단 소리는 루트부분을 y로 치환하면, 그 부분은 y^n이 들어 있는 방정식이 됨. 결국 근의 공식에 루트가 있으려면, 이런 방정식을 여러 번 풀어 원래 방정식이 풀려야 함. 예를 들어 x^4+x^2+1=0은 x^2=y로 치환하여 이차방정식 두 번 풀면 원래 방정식이 풀림.

저렇게 치환하는 게 가능한지 여부를 알 수 있는 방법을 갈루아가 알아낸 것임. 갈루아군의 composition series를 계산한다는 게 결국 해들을 묶어 치환해서 루트만 나오는 작은 방정식들로 쪼개어 원래 방정식을 풀 수 있는지 여부를 알려주는 것.

그런데 5차 이상의 방정식 중엔 갈루아 군이 저런 좋은 성질을 갖지 않는 경우들이 있음. 결국 방정식의 해 중에 루투가 들어있지 않단 소리고, 즉, 근의 공식이 없단 소리임. 근의 공식이 있으려면 모든 해가 루트를 가져야 하니까.