[일반] Q의 집적점이 R인걸 어떻게 보이죠?

[vv(182.218)]

대학교 2학년 실해석학개론 문제입니다.

임의의 입실론 y에 대해

아르키메데스 정리에 따라 y>1/n 로 잡으면,

y' = m/n (m, n 서로 소 인 자연수)에 따라,

유리수는 유리수의 집적점이 되는건 알겠습니다.

무리수가 유리수의 집적점이 되는건 어떻게 보이면 좋을까요?

무리수가 유리수로 수렴한다(그런가?)는건 아직 안 배웠어요.

아 아니면...

임의의 구간을 잡았는데

그안에 최소 두개의 유리수가 존재함을 보여도 되겠네요??

[lp(yyi050324)]

실수 정의가 dedekind cut이건 cauchy sequence를 자르건 간에 유리수의 집적점이 되게 한거 아닌가 ㅎㅁ 실수 정의 뭐로 함?

[vv(182.218)]

데데킨트로 하는거 같네용

[vv(182.218)]

완비순서체로요

[lp(yyi050324)]

그럼 그냥 완비성이 바로 말해주는거 아님? a가 실수라고 했을때 a_n을 10^-n[10^n×a]같은걸로 놓고 해보셈

[vv(182.218)]

완비성공리에 따라 무리수는 어떤 상한으로 수렴하긴할탠데 그걸 유리수로 잡으면되나요?

[vv(182.218)]

그리고 그 차이만큼 입실론 y로 잡으면되나

[lp(yyi050324)]

음 그니까 내가 말한대로 수열을 잡으면 저게 Cauchy가 되는건 쉽게 보일수 있을거고 근데 완비성때매 R에서 수렴할거 아님

[lp(yyi050324)]

근데 정의상 저 수열은 유리수고 수렴하는점은 a일텐데 여기서 a는 임의의 실수였으니까 모든 실수는 유리수의 집적점이 된다는식으로 하면 될거고

[vv(182.218)]

코시가 뭔지는 모르겠는데 마지막으로 단 대댓은 알거같아요

[lp(yyi050324)]

아 그책은 완비성을 코시로 설명을 안하나보네 뭐 쨌든 그럼 걍 유계인 증가수열이니 수렴한다고 봐도 되고 뭐 쨌든 그런식으로 하면 될거임

[vv(182.218)]

고마워요!

[익명(175.223)]

실직선의 임의의 열린구간에 유리수가 있음을 보이면 충분

[익명(223.39)]

위상 못씀?

[캔디뜯죠(1wq1wq)]

걍 density쓰면 되는거 아님? - dc App

[익명(121.130)]

(1) 임의의 실수 x를 잡는다 (2) 임의의 서로 다른 두 실수 a ,b (a'<'b)사이에 유리수가 존재함을 보인다 (3) 임의의 양수 ε에 대하여 (2)에 의해 x'<'q'<'x+ε인 유리수가 존재함을 안다 그러므로 x의 임의의 근방에 x가 아닌 유리수가 반드시 있음. 즉, x는 Q의 집적점이고 x는 임의니까 RCQ'C[cl(Q)]라서 R=cl(Q)

[익명(180.66)]

걍 무리수완비성 쓰면되는거 아니노