[중고딩문제] "최고차가 홀수차인 다항함수는 적어도하나실근" 고교로증명?

[익명(118.235)]

lim x->+-무한 f= +-무한 이용해서

사잇값정리를 적용하고싶은데

고교과정에서는 닫힌구간내에서만 사잇값정리를 적용할수가있고.. 극한에관해 엄밀한정의를 하지않기때문이

충분히큰 실수x이상부턴 양수가돼

이런 논리도못쓰는데..

고교과정만으로, 각 다항식의 계수들을 이용한 상수 T1 T2를 정해 f(t1)>0 f(t2)<0이므로 구간 [t1,t2]에서

사잇값정리 적용 하는 방법이있을까?

- dc official App

[익명(223.38)]

실계수다항식의 근이 복소수이면 그 켤레도 근이 되기 때문에

[익명(118.235)]

불행히도 그건 교육과정이아님.. - dc App

[익명(223.38)]

복소수는 배울거아니냐 증명도 안어려운데

[익명(118.235)]

아니,결국 켤레로 남고난 하나가 실근이란건데 이건 대수학의기본정리잖아 - dc App

[익명(223.38)]

아

[익명(118.235)]

고교로증명하려면 그 "충분히 큰 실수"에 대해 f가 양수가된다를 보여야되는데 이 충분히 큰 실수를 각 계수에 관한 식으로 설정해서보이는거잒에없는거같아서 이거가능한지궁금해서 - dc App

[익명(223.38)]

최고차항 1로 만들어서 x^n+ax^(n-1)+bx^(n-2)+...꼴로 쓰고 |a|+|b|+...보다 큰 양수 M을 잡으면 f(M)>0, f(-M)<0

[익명(180.66)]

근데 이건 대수학의기본정리까지 생각할 필요없이 고교과정에서 증명되는 내용이야

[익명(175.223)]

대수학의 기본정리가 없으면 애초에 복소근을 어떻게 찾을건데

[익명(110.12)]

충분히 큰 T1을 직접 잡아주면 되는거 아님? 편의상 monic polynomial이라 하면 각 계수의 절댓값의 합 x2 정도 하면 안되나

[익명(118.235)]

삼각부등식으로? - dc App

[망령(ulckmj)]

근디 애초에 고교에서 극한을 다룬다는거 자체가 엄밀하지 않으니 걍 직관으로 증명하는거와 다를바가 없지 않나? 고교에서 사용하는 모든 정리가 증명없는 직관인데, 그 정리를 활용한다는 것도 결국 증명이 아니니까 말임 아무튼 이런 직관을 활용한다면 너가 말한 t1,t2도 귀류법으로 찾을 수 있을듯?

[익명(118.235)]

고교에서 사용하는 정리들은 모두 참으로 증명됏다생각하고 사용하면 올바른증명아닐까 - dc App

[망령(ulckmj)]

x가 양의 무헌대로갈때 f가 모두 음수라면, x가 양인 부분에서는 함수의 그래프가 x축보다 아래에 있어야하는데 그러면서 무한대로 간다는건 극한의 대소비교와 유사한 맥락으로 모순(직관) 따라서 양인 부분에서 f(x)도 양인 x값이 존재

[망령(ulckmj)]

뭐 그렇게 생각하면 어쩔수 없지 개인적으로는 애초에 고교과정의 극한부분이 엄밀한 증명 말고 그냥 증명을 하는거 자체가 넌센스라고 생각하는자라 저렇게 썼음

[AKIRAx(chrislee93)]

애초에 극한 엄밀히정의 안한다고 그거 따질거면 중간값정리 증명없이 쓰는것도 걸고넘어지는게 맞다

[익명(175.223)]

그 이전에 실수라는게 뭔지부터 걸고넘어져야지 ㅋㅋ

[lp(yyi050324)]

삼각부등식 쓰려면 f(x)=a_0+...+a_nx^n일때 M을 |a_i/a_n|중에 젤 큰걸로 잡고 T_1=10^nM T_2=-T_1같은걸로 해보셈

[lp(yyi050324)]

아 M이 1보다도 크긴 해야하긴 한데 대충 저런식으로 하면 되긴 할거임

[익명(175.223)]

차수가 홀수면 양수랑 음수 다 함숫값으로 가진다는건 고교과정 내에서 삼각부등식으로 쉽게 보일 수 있고 한편 실근이 있다는걸 보이려면 중간값 정리 또는 그와 비슷한 논리가 들어가기는 해야함 (예를 들어서 유리수에서는 성립 안하니까 실수만의 성질이 어딘가에는 들어가야 해서 극한개념을 안쓰고 증명한다는건 말이 안됨)

[익명(211.59)]

어떤 실수를 잡으면 양수를 만들수 있음을 증명 ㄱ - dc App