다변수 f가 P에서 미분가능 => 모든 v에 대해 Dvf(P)=gradf(P) 내적 v
이건 참인데 이 명제의 역은 언급 없는거 보니 거짓같음
(모든 v에 대해 Dvf(P)=gradf(P) 내적 v => 다변수 f가 P에서 미분가능)
그래서 반례를 생각해보려했는데 첨 배우는 좆만이 입장에서 생각하기가 쉽지가 않네
모든 방향미분계수는 다 적절히 존재해서 성립하는데 연속이 아닌 그런 경우를 찾으면 되려나?
근데 교재에 있는 몇몇 예시 넣어보니까 안들어맞더라구...
반례 혹시 얘기해줄 고수있슴?
x^2
아니 수식이 잘리네ㅡㅡ x^2이랑 2x^2 그래프 사이에서 1, 나머지에서 0인 함수 생각하면 됨
f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2) 이거 원점에서 불연속인데 directional derivative는 모든 방향에서 존재함. (계산해보면 0임) 그렇다면 당연히 모든 v에 대해 D_vf(P)=grad f(P) 내적 v가 성립하겠지.
연속 아닌것도 맞고 방향미분 전부 존재하는것도 맞는데 방향미분값이 항상 0은 아님 계산실수한듯
아 그러네
f(x,y):={((x^2)y)sqrt(x^2+y^2)}/(x^4+y^2), ((x,y)≠(0,0)일 때) f(x,y):=0, ((x,y)=(0,0)일 때) 로 정의하면 원점서 연속, 모든방향 방향미분계수 존재, 원점서 Dvf=▽f•v도 항상 성립인데 원점서 미분불가 ㅇㅇ
이번엔 저기서 (x,y)≠(0,0)일 때 f(x,y)=xy^2/(x^2+y^3) 으로 바꾸면 원점에서 모든방향 방향미분계수 존재하는데 불연속임 (x=t^3/(t-1), y=t^2/(t-1) 따라가면 됨) (대신, 이 경우 Dvf≠▽f•v임)